segunda-feira, 20 de maio de 2013

115-A Equação da Circunferência por Completamento do Quadrado

Da Geometria Analítica, sabemos que o gráfico da equação é uma circunferência de centro e raio .  De posse deste conhecimento, resolveremos os seguintes exercícios. Mostrar que também são circunferências os gráficos das seguintes equações, calcular as coordenadas do centro e o raio de cada uma.

1)
2)
     3)
    4)

Resolução geral.  Inicialmente, provaremos que , dados os números reais, e , tais que , então o gráfico de é uma circunferência. Se não, vejamos. Isolando no segundo membro, temos

 

Multiplicando e dividindo por os coeficientes de e e somando à ambos os membros obtemos

 

Formados então os ( trinômio quadrado perfeito ), podemos sintetizar como

 

Mas esta é a equação da circunferência de centro e raio .


Neste contexto, fica bastante simples resolver os exercícios propostos.


1) Comparando   com , temos

, e  

Assim, esta equação é de uma circunferência de centro que se encontra no primeiro quadrante.

2) Já para , temos o centro no quarto quadrante.

3) Na equação , temos o centro situado no segundo quadrante.


4) E por último, temos que na equação o centro se encontra no terceiro quadrante.


Já os raios destas circunferências são todos iguais, tendo em vista que 


 


Em um mesmo sistema de coordenadas,eis os gráficos das equações estudadas:










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