sexta-feira, 13 de junho de 2014

119 - O Produto pela Soma

Quais as condições para que o produto de dois números naturais seja divisível pela soma dos mesmos? Algebricamente, dados  , e , com e , quando é possível a igualdade

?    (1)

Vamos responder esta pergunta provando que esta equação tem solução em para todo e qualquer valor natural de não nulo. O meio pelo qual faremos isto é resolvendo-a, de fato. Então o formato das soluções nas variáveis e , em função da constante , fornecerá as condições de existência da igualdade. Curiosamente, as soluções dependem dos divisores de .

Começamos fazendo o produto dos meios pelos extremos de (1). Em seguida, isolamos as variáveis no primeiro membro. Chegamos a



Agora faremos um artifício de fatoração, somando e subtraindo do primeiro membro a potência .

  


Colocando em evidência e e colocando para o segundo membro, temos


 


Por sua vez, colocamos em evidência.


(2) 


A equação (2) é equivalente a equação (1) com a ressalva .


Concluímos que e são divisores complementares de . Designaremos estes divisores por e , ou seja, . Assim, e . Logo,

 




Exemplo 1. Seja um primo onde  . As soluções naturais para esta equação são geradas pelas igualdades

 

 


Pelo conjunto dos divisores naturais de , ou seja,



 
temos que


;

; e




Assim o conjunto solução de  é  






Com isso, verifica-se que a equação só admite três soluções em , se for primo.

Exemplo 2. Resolver a equação


Temos , logo


;




  


E as soluções restantes são os pares com as coordenadas trocadas. 


 


Conclusão: a equação sempre tem soluções em e o número delas é o número de divisores de . E ainda, admite as soluções triviais , e .


Observação. A equação  em é um caso particular da equação mais geral em  ,  estudada nos artigos 001 - Uma Equação Diofantina Especial  e 006 - Uma Equação Diofantina Especial - II .







8 comentários:

  1. Belíssimo post no qual envolvem fatoração e Teoria dos Números de uma forma fácil e criativa. Parabéns!

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    1. Valeu, Paulo. Existem muitas questões da Teoria dos Números que se resolvem com o processo da fatoração algébrica. Por exemplo, acho que a mais simples é calcular as soluções naturais de [;x^2-y^2=3;] .

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  2. Oi, Teixeira! Depois de 5 meses!!! Que Bom! Sua habilidade em fazer mágicas é fantástica. Parabéns!
    Olhe que interessante. Se a=k^3 então x e y não podem ser ambos cubos, pois se fossem teríamos (x+y)=um cubo o que contradiria o UTF. Abçs

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    1. Reciprocamente se X^3 + Y^3=Z^3 então existe uma equação de Teixeira tal que a=(X^3)(Y^3) e x e y são ambos cubos x=(Z^3)(X^3) e y=(Z^3)(Y^3), vale também para uma potência qualquer. Abçs

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  3. Oi, Tavano. É interessante esta ligação com o UTF. Acho que nos seus cálculos vc usou o fato de que (xy)^n/(x^n+y^n)=z^n é equivalente a x^(-n)+y^(-n)=z^(-n). Já tentei até demonstrar o UTF com estas equações e é claro, sem sucesso, rs.

    Abraços

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    1. Nada como falar com alguém que já tentou. É parecido com isso, xy(x+y)=k^n com x e y primos entre si, é equivalente ao UTF, Mas eu consegui: "Uma grande dor de cabeça".rs.Abçs

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