121 - COMO FORMAR UM POLINÔMIO A PARTIR DE VALORES INICIAIS - VETORES DE VARIAÇÃO DE GRAU

O objetivo do presente artigo é verificar, graficamente e passo a passo, por intermédio de um exemplo, como se constrói um polinômio de grau ,  a partir de valores iniciais, ou seja, , ,...,. Veremos também o significado geométrico do coeficiente do termo de maior grau deste polinômio e dos polinômios auxiliares que o formam. Para este fim, introduzimos o conceito de

Polinômio corretor , de grau ,  é aquele que possui as seguintes propriedades.

a)  para , , ..., ;

b) para , ou seja, dado um número real , temos .

Logo, tal polinômio tem a forma

O polinômio corretor serve para que uma função qualquer funcione conforme a natureza de uma função conhecida, conforme as igualdades , ,....,, no entanto , sendo um valor arbitrariamente escolhido.

Por exemplo, , , , . Sabemos que, para os três primeiros valores, funciona como . No entanto para temos a diferença . Logo, fazendo no polinômio corretor , temos que a função é melhor definida por

,

De fato, pois

,

,

,

CONSTRUÇÃO DE UM POLINÔMIO DE GRAU g A PARTIR DE VALORES INICIAIS. CONCEITO DE VETOR DE VARIAÇÃO DE GRAU. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA.

Dados , , e , calcular o polinômio correspondente.  E ainda, identificar no gráfico cartesiano os numeradores dos coeficientes de todos os polinômios corretores utilizados.

Temos então os pontos , , e , conforme o diagrama a seguir.

Vejam que ,  representado pelo ponto , sugere o polinômio de grau , . Assim, observem no diagrama a seguir que temos e . Mas não queremos o ponto vermelho e sim, o ponto azul na mesma vertical , porque .

A diferença das ordenadas de   e é o módulo de valor do vetor que indica o sentido da correção. Chamarei vetores deste tipo de vetor de variação de grau. Logo, para alcançarmos o ponto tendo por base o polinômio de grau , é necessário somar ao mesmo o polinômio corretor de grau ,

 

o que da origem a equação da reta

,

 

representada no gráfico a seguir.

Embora a reta passe pelos pontos azuis e , ela não alcança o ponto azul , pois , vide ponto vermelho . 

A diferença das ordenadas de   e é o módulo de valor do vetor que indica o sentido da correção. Logo, para alcançarmos o ponto tendo por base o polinômio de grau , é necessário somar ao mesmo o polinômio corretor de grau ,

 

o que dá origem a equação quadrática

 

representada pela parábola do diagrama a seguir

Agora a parábola abrange os pontos azuis , e  , mas não "pega" o ponto azul .  De fato, pois ( ponto vermelho ).

A diferença das ordenadas de   e é o módulo de valor do vetor que indica o sentido da correção. Logo, para alcançarmos o ponto , tendo por base o polinômio , de grau , é necessário somar ao mesmo o polinômio corretor de grau ,

e assim temos polinômio procurado

 

cujo gráfico é

onde todos os pontos pretendidos são alcançados.

No próximo diagrama,  estão representados todos as representações geométricas ou vetoriais dos numeradores dos coeficientes , do polinômio cúbico assim estruturado. Observem que