130 - Teorema de Viviani

Vincenzo Viviani (1622-1703) foi matemático, cientista italiano, colaborador de Galileu Galilei (1564-1642) e autor da seguinte pérola da geometria plana.

Se o triângulo  é equilátero  e  é um ponto interior, então a soma das distâncias de  aos lados do triângulo é igual à altura  do mesmo, ou seja,

Neste artigo daremos quatro demonstrações . A primeira delas é a mais comum encontrada na rede por ser mais direta e econômica. No entanto, é interessante verificar as estratégias geométricas utilizadas na demonstração do teorema de Viviani  sem o uso do conceito de área. A segunda e a quarta demonstração é de Marcus Bronzi e de Luis Renato, respectivamente, professores da UFU. A terceira é deste administrador, aluno da  mesma Instituição.

Primeira demonstração

Seja ,  e  os segmentos que unem o ponto  aos vértices  do triângulo, respectivamente. A área do triângulo  é a soma da áreas dos triângulos ,  e . Portanto,

 

Mas como o triângulo  é equilátero, temos  e cancelando estes fatores na expressão, chegamos à

 

Segunda demonstração

1) Trace o segmento  paralelo a base , passando por  e limitado pelos lados do triângulo;

2) Pelo teorema das paralelas, concluímos que o triângulo  também é equilátero;

3) Trace a reta  paralela à e passando por ;

4) Como  e  é perpendicular à , então  é perpendicular à ;

5) Seja ;

6) Como o triângulo  é equilátero, temos ;

7) Nos triângulos retângulos  e  obtemos, pela soma dos ângulos internos, que ;

8) , por ser oposto à   pelo vértice; 

9) Usando soma dos ângulos internos no triângulo  obtemos ;

10) Pelo caso ALA ( ângulo, lado, ângulo ) de congruência, obtemos , logo ;

11)  A altura do triângulo  relativa ao lado  tem a mesma medida que , pois . Desta forma, ;

12) Por fim, como o triângulo  é equilátero, a altura relativa ao lado tem a mesma medida que a altura relativa ao lado , de forma que a altura do triângulo equilátero maior  é    .

Terceira demonstração

1) Trace o segmento , paralelo a base , passando por  e limitado pelos lados do triângulo;

2) Pelo teorema das paralelas, concluímos que o triângulo também é equilátero;

3) Trace o segmento  com ,  e ;

4) Pelo teorema das paralelas, concluímos que o triângulo é equilátero e possui as três alturas congruentes, logo ;

5) Trace o segmento , paralelo a base  e limitado pelos lados do triângulo nos pontos  e  ;

6) Pelo teorema das paralelas, concluímos que o triângulo  é equilátero;

7)  Trace o segmento  com ,  e ;

8) Pelo teorema das paralelas, concluímos que o triângulo  é equilátero;

9) Como  e  são equiláteros e ainda , conclui-se que  pelo critério de congruência 

10) Logo,  e  ( altura do triângulo equilátero ) .  

Quarta demonstração

Como os leitores bem observaram, o teorema de Viviani é consequência direta de outro teorema (  que aqui chamaremos de lema V ) que diz que ( veja diagrama a seguir ) se temos um triângulo isósceles  e  é um ponto que se encontra entre os vértices da base, então as distâncias  e  deste ponto às laterais do triângulo são tais que , sendo que  é a altura relativa à lateral .

Este resultado, combinado com o fato de que as três alturas de um triângulo equilátero ( que também  é isósceles ) são congruentes, nos diz que, se o triângulo  é equilátero , se é um ponto do interior do mesmo, se ,  e  são as distâncias deste ponto aos lados do triângulo, então  é igual a qualquer uma das três alturas do triângulo equilátero .  A seguir, a demonstração do lema V , por semelhança de triângulos.

Artigo relacionado: 052-Generalização do Teorema de Viviani