Se o triângulo é equilátero e é um ponto interior, então a soma das distâncias de aos lados do triângulo é igual à altura do mesmo, ou seja,
Neste artigo daremos quatro demonstrações . A primeira delas é a mais comum encontrada na rede por ser mais direta e econômica. No entanto, é interessante verificar as estratégias geométricas utilizadas na demonstração do teorema de Viviani sem o uso do conceito de área. A segunda e a quarta demonstração é de Marcus Bronzi e de Luis Renato, respectivamente, professores da UFU. A terceira é deste administrador, aluno da mesma Instituição.
Seja , e os segmentos que unem o ponto aos vértices do triângulo, respectivamente. A área do triângulo é a soma da áreas dos triângulos , e . Portanto,
Primeira demonstração
Seja , e os segmentos que unem o ponto aos vértices do triângulo, respectivamente. A área do triângulo é a soma da áreas dos triângulos , e . Portanto,
Mas como o triângulo é equilátero, temos e cancelando estes fatores na expressão, chegamos à
Segunda demonstração
1) Trace o segmento paralelo a base , passando por e limitado pelos lados do triângulo;
2) Pelo teorema das paralelas, concluímos que o triângulo também é equilátero;
3) Trace a reta paralela à e passando por ;
4) Como e é perpendicular à , então é perpendicular à ;
5) Seja ;
6) Como o triângulo é equilátero, temos ;
7) Nos triângulos retângulos e obtemos, pela soma dos ângulos internos, que ;
8) , por ser oposto à pelo vértice;
9) Usando soma dos ângulos internos no triângulo obtemos ;
10) Pelo caso ALA ( ângulo, lado, ângulo ) de congruência, obtemos , logo ;
11) A altura do triângulo relativa ao lado tem a mesma medida que , pois . Desta forma, ;
12) Por fim, como o triângulo é equilátero, a altura relativa ao lado tem a mesma medida que a altura relativa ao lado , de forma que a altura do triângulo equilátero maior é .
Terceira demonstração
1) Trace o segmento , paralelo a base , passando por e limitado pelos lados do triângulo;
2) Pelo teorema das paralelas, concluímos que o triângulo também é equilátero;
3) Trace o segmento com , e ;
4) Pelo teorema das paralelas, concluímos que o triângulo é equilátero e possui as três alturas congruentes, logo ;
5) Trace o segmento , paralelo a base e limitado pelos lados do triângulo nos pontos e ;
6) Pelo teorema das paralelas, concluímos que o triângulo é equilátero;
7) Trace o segmento com , e ;
8) Pelo teorema das paralelas, concluímos que o triângulo é equilátero;
9) Como e são equiláteros e ainda , conclui-se que pelo critério de congruência
10) Logo, e ( altura do triângulo equilátero ) .
Quarta demonstração
Como os leitores bem observaram, o teorema de Viviani é consequência direta de outro teorema ( que aqui chamaremos de lema V ) que diz que ( veja diagrama a seguir ) se temos um triângulo isósceles e é um ponto que se encontra entre os vértices da base, então as distâncias e deste ponto às laterais do triângulo são tais que , sendo que é a altura relativa à lateral .
Artigo relacionado: 052-Generalização do Teorema de Viviani