O objetivo do presente artigo é verificar, graficamente e passo a passo, por intermédio de um exemplo, como se constrói um polinômio de grau , a partir de valores iniciais, ou seja, , ,...,. Veremos também o significado geométrico do coeficiente do termo de maior grau deste polinômio e dos polinômios auxiliares que o formam. Para este fim, introduzimos o conceito de
Polinômio corretor , de grau , é aquele que possui as seguintes propriedades.
a) para , , ..., ;
b) para , ou seja, dado um número real , temos .
Logo, tal polinômio tem a forma
a) para , , ..., ;
b) para , ou seja, dado um número real , temos .
Logo, tal polinômio tem a forma
O polinômio corretor serve para que uma função qualquer funcione conforme a natureza de uma função conhecida, conforme as igualdades , ,....,, no entanto , sendo um valor arbitrariamente escolhido.
Por exemplo, , , , . Sabemos que, para os três primeiros valores, funciona como . No entanto para temos a diferença . Logo, fazendo no polinômio corretor , temos que a função é melhor definida por
Por exemplo, , , , . Sabemos que, para os três primeiros valores, funciona como . No entanto para temos a diferença . Logo, fazendo no polinômio corretor , temos que a função é melhor definida por
,
De fato, pois
,
,
,
,
CONSTRUÇÃO DE UM POLINÔMIO DE GRAU g A PARTIR DE VALORES INICIAIS. CONCEITO DE VETOR DE VARIAÇÃO DE GRAU. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA.
Dados , , e , calcular o polinômio correspondente. E ainda, identificar no gráfico cartesiano os numeradores dos coeficientes de todos os polinômios corretores utilizados.
Temos então os pontos , , e , conforme o diagrama a seguir.
Vejam que , representado pelo ponto , sugere o polinômio de grau , . Assim, observem no diagrama a seguir que temos e . Mas não queremos o ponto vermelho e sim, o ponto azul na mesma vertical , porque .
Temos então os pontos , , e , conforme o diagrama a seguir.
Vejam que , representado pelo ponto , sugere o polinômio de grau , . Assim, observem no diagrama a seguir que temos e . Mas não queremos o ponto vermelho e sim, o ponto azul na mesma vertical , porque .
A diferença das ordenadas de e é o módulo de valor do vetor que indica o sentido da correção. Chamarei vetores deste tipo de vetor de variação de grau. Logo, para alcançarmos o ponto tendo por base o polinômio de grau , é necessário somar ao mesmo o polinômio corretor de grau ,
o que da origem a equação da reta
,
representada no gráfico a seguir.
Embora a reta passe pelos pontos azuis e , ela não alcança o ponto azul , pois , vide ponto vermelho .
A diferença das ordenadas de e é o módulo de valor do vetor que indica o sentido da correção. Logo, para alcançarmos o ponto tendo por base o polinômio de grau , é necessário somar ao mesmo o polinômio corretor de grau ,
o que dá origem a equação quadrática
representada pela parábola do diagrama a seguir
Agora a parábola abrange os pontos azuis , e , mas não "pega" o ponto azul . De fato, pois ( ponto vermelho ).
A diferença das ordenadas de e é o módulo de valor do vetor que indica o sentido da correção. Logo, para alcançarmos o ponto , tendo por base o polinômio , de grau , é necessário somar ao mesmo o polinômio corretor de grau ,
A diferença das ordenadas de e é o módulo de valor do vetor que indica o sentido da correção. Logo, para alcançarmos o ponto , tendo por base o polinômio , de grau , é necessário somar ao mesmo o polinômio corretor de grau ,
e assim temos polinômio procurado
cujo gráfico é