ELEMENTOS: Progressões e Séries

DEDICATÓRIA

Dedico esse post a União dos Blogs de Matemática ( $UBM$ ), http://ubmatematica.blogspot.com/, do qual agora sou filiado. Da iniciativa do professor Paulo Sérgio e Kleber Kilhian, a $UBM$ prima pela excelência e seriedade, levando aos amantes da matemática uma riqueza de conhecimentos condensados. Eu diria que, se a $UBM$ tivesse um patrono, sem dúvidas seria o frade Minimita Marin Mersenne ( $1588-1648$ ), um grande difusor de matemática da época.

INTEGRAL NATURAL E SOMATÓRIOS

O método de soma exposto a seguir desenvolvi em $1988$ , quando tinha $16$ anos. Somente há poucos anos vi algo parecido no livro "Manual de Sequências e Séries - Volume I", Rio de Janeiro, $2005$ , de Luís Lopes, pela Editora QED TEXTE, onde o autor chama a operação $f(n+1)-f(n)$ de DIFERENÇA FINITA.

No artigo anterior, nós vimos o conceito de derivada natural aplicável a uma sequência qualquer.

Se temos uma sequência $\mathbb{N^*}+\longrightarrow+\mathbb{R}$ definida por $a_n+=+f(n)$ , sua derivada N será definida por

$f_1(n)=f(n+1)-f(n)$

Em contrapartida, se acharmos uma função $F(n)$ tal que $F_1(n)=F(n+1)-F(n)=f(n)$ , então $F(n)$ é a INTEGRAL NATURAL ou integral N de $f(n)$ . Simbolizo $F(n)$ por $\rfloor+\lceil+f(n)$ . Assim,

$\rfloor \lceil f(n)$ $=F(n)$ tal que $F(n+1)-F(n)=f(n)$

A variação de $\rfloor \lceil f(n)$ nos limites $n=a$ e $n=b$ , onde $a$ e $b$ são inteiros positivos com $a<b$ , será representada por

$\rfloor \lceil_a^b f(n) = [F(n)]_a^b = F(b)-F(a)$

Como a integral N limitada $\rfloor \lceil_a ^b f(n)$ se relaciona com o somatório $\sum _{i=1} ^n f(i)$ ? É o que veremos a seguir.

TEOREMA: $\sum _{i=1}^n f(i)=\rfloor \lceil_1 ^ {n+1}f(n) = F(n+1)-F(1)$

Demonstração: Se existir uma sequência definida por $F(n)$ tal que $f(n)=F(n+1)-F(n)$ então poderemos somar os termos $f(i)$ de $i=1$ a $i=n$ como se segue:

$\sum _{i=1}^n f(i) = f(n) + f(n-1) + f(n-2)+...+f(3)+f(2)+f(1)=$ $= F(n+1)-F(n) + F(n) - F(n-1) + F(n-1)-F(n-2) + ....$

$...+ F(4)-F(3)+F(3)-F(2)+F(2)-F(1)=$

$=F(n+1)-F(1)$

já que todas as parcelas se anulam com exceção da primeira e da última.

Mas, por definição, $F(n) = \rfloor \lceil f(n)$ e, portanto, $\sum _{i=1}^n f(i)=F(n+1)-F(1) = \rfloor \lceil_1^{n+1}f(n)$

Aplicação 1: Achar a soma de uma progressão geométrica de termo genérico $a_n=a_1q^{n-1}$ sendo a razão $q\neq1$ .

Solução: multiplicando $a_n$ por $\frac{q-1}{q-1}$ obtemos

$a_n=a_n.\frac{q-1}{q-1}=a_1q^{n-1}.\frac{q-1}{q-1}=\frac{a_1q^n}{q-1}-\frac{a_1q^{n-1}}{q-1}$

Veja que $a_n$ fica no formato $F(n+1)-F(n)$ com $F(n)=\frac{a_1q^{n-1}}{q-1}$

Portanto,

$\sum _{i=1}^n a_i=\rfloor \lceil_1^{n+1}a_n= \left[\frac{a_1q^{n-1}}{q-1}\right]_1^{n+1}$ $=\frac{a_1q^n}{q-1}-\frac{a_1q^0}{q-1}$ $=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$

Aplicação 2: Achar a soma dos n primeiros termos da sequência definida por

$p(n)=a_0 n^g + a_1n^{g-1}+a_2n^{g-2}+...+a_{g-2}n^2+a_{g-1}n + a_g$ , com $a_0\neq0$

Solução: Observem que $p(n)$ é um polinômio de grau $g$ . Para facilitar a soma, teremos que colocar o termo genérico no formato

$p(n)=A_0 + (n-1)A_1 + ( n-1)(n-2)\frac{A_2}{2!}+...+(n-1)(n-2)...(n-g)\frac{A_g}{g!}$

E isso já aprendemos no post anterior "Progressão Aritmética de ordem Superior".

Aprendemos também que a derivada N $p_1(n)=p(n+1)-p(n)$ de $p(n)$ é:

$p_1(n)=A_1 + (n-1)A_2+(n-1)(n-2)\frac{A3}{2!}+...+(n-1)(n-2)...[n-(g-1)]\frac{Ag}{(g-1)!}$

Assim, por indução inversa, concluímos que

$\rfloor \lceil p(n) = P(n) = K + (n-1)A_0 + (n-1)( n-2)\frac{A_1}{2!}+...+ (n-1)(n-2)...[n-(g+1)]\frac{Ag}{(g+1)!}$

Logo,

$\sum _{i=1}^n p(i) = \rfloor \lceil_1^{n+1}p(n)=[P(n)]_1^{n+1}=P(n+1)-P(1)=$

$=K+nA_0 + n(n-1)\frac{A1}{2!} + ...+n(n-1)(n-g)\frac{A_g}{(g+1)!}-K$

Assim, $\sum _{i=1}^n p(i) = \rfloor \lceil_1^{n+1}p(n) =$

$=nA_0 + n(n-1)\frac{A1}{2!} + ...+n(n-1)(n-g)\frac{A_g}{(g+1)}!$

Exemplo. Suponha que $p(n)=n^4 -5n^3+n-8$ . Pelo triângulo das variações ( ver post anterior ) achamos rapidamente os coeficientes $A_i$ . Se o grau da função polinomial é $g=4$ calculamos os $g+1=5$ primeiros termos desta função:

$p(1)=-11$ , $p(2)=-30$ , $p(3)=-59$ , $p(4)=-68$ e $p(5)=-3$

-11 -30 -59 -68 -3

-19 -29 -9 65

-10 20 74

30 54

Pegamos, então, os coeficientes $A_i$ na diagonal da esquerda:

$A_0=-11$ , $A_1=-19$ , $A_2=-10$ , $A_3=30$ e $A_4=24$

Portanto,

$\sum _{i=1}^n \left(i^4-5i^3+i-8 \right) =$

$= n.(-11)+n(n-1)\frac{-19}{2!} + n(n-1)(n-2)\frac{-10}{3!}+$

$+ n(n-1)(n-2)(n-3)\frac{30}{4!}+ n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)\frac{ 24}{5!}$

Ou, se preferirem, usando a notação de combinação , temos

$\sum _{i=1}^n \left(i^4-5i^3+i-8 \right) =$

$=-11\binom{n}{1}-19\binom{n}{2}-10\binom{n}{3}+30\binom{n}{4}+24\binom{n}{5}$

Em um futuro post, mostrarei como achar a soma dos $n$ primeiros termos de $a_n=sen(n)$ usando a integral N. / N.E: Veja esta matéria em Somatórios Trigonométricos

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quarta-feira, 11 de janeiro de 2012

003-Integral Natural e Somatórios

V.O