No post Expoente de Primo em Fatoração de Fatorial, vimos como calcular o expoente
do primo
na fatoração de
. Naquele artigo, foi demonstrada a fórmula
, com
e
é a parte inteira de
real
.
Neste, veremos outro processo que é relativo à diferentes bases primas de numeração.
Se queremos saber qual o expoente de
em
, podemos fazer também o seguinte:
Colocamos
na base
pelo conhecido método de divisões sucessivas por
até o quociente ser
:
Somamos os dígitos de
na base
:
Agora é só aplicar a fórmula
Neste, veremos outro processo que é relativo à diferentes bases primas de numeração.
Se queremos saber qual o expoente de
Pegamos, então, os restos
,
,
e o último quociente
. Assim,
( com a inversão destes valores encontrados ).
Portanto o expoente de
na fatoração de
é
.
Notem que este segundo processo não lida com valores "quebrados", ao contrário do primeiro já visto. Vamos prová-lo por intermédio do seguinte teorema (todos os valores envolvidos são naturais ):
Demonstração: Como
temos
Observem que,
foi descartado por ser justamente a parte fracionada (
).
Da mesma forma
Se prosseguirmos, teremos
, porque
(
é um dígito de
na base
). Disso tiramos que
é a maior potência de
que divide
. Portanto,
e aproveitando os resultados de
acima ( somando os segundos membros por coluna de mesmo dígito
), temos
![E_p(n!)=\frac{a_rp^r-a_r+a_{r-1}p^{r-1}-a_{r-1}+...+a_2p^2-a_2+a_1p-a_1}{p-1} \Rightarrow [;E_p(n!)=\frac{a_rp^r-a_r+a_{r-1}p^{r-1}-a_{r-1}+...+a_2p^2-a_2+a_1p-a_1}{p-1} \Rightarrow;]](http://thewe.net/tex/E_p%28n%21%29=%5Cfrac%7Ba_rp%5Er-a_r+a_%7Br-1%7Dp%5E%7Br-1%7D-a_%7Br-1%7D+...+a_2p%5E2-a_2+a_1p-a_1%7D%7Bp-1%7D%20%5CRightarrow)
![E_p(n!)=\frac{n-\sum_{i=0}^{r}a_i}{p-1} [;E_p(n!)=\frac{n-\sum_{i=0}^{r}a_i}{p-1};]](http://thewe.net/tex/E_p%28n%21%29=%5Cfrac%7Bn-%5Csum_%7Bi=0%7D%5E%7Br%7Da_i%7D%7Bp-1%7D)
Exercício resolvido: Calcular em quantos zeros termina
.
Resolução: Sejam
e
os expoentes no produto
na fatoração de
. Como na sucessão (
,
,...,
) existem mais múltiplos de
do que múltiplos de
, temos que
. Assim, o que definirá a quantidade de zeros em
será o produto
. Generalizando, o número de zeros que termina
será o valor do expoente de
na fatoração de
.
Como
, temos
,
,
,
e
e
Resposta:
termina em
zeros.
Referência Bibliográfica
Funções Aritméticas - Números Notáveis, de Edgard de Alencar Filho, Editora Nobel,1988
Cara esta publicação tá de parabéns... Ótima mesmo e realmente tem a dúvida que o carinha lá perguntou... Já respondi seu comentário em meu blog e indiquei tbm a publicação para ele ver... Espero que ele tire sua dúvida aqui não é mesmo?! Queria agradecer por comentar lá no meu blog, seus comentários são sempre bem vindos parceiro... Um grande abraço e até breve...
ResponderExcluirOi, Romirys! Obrigado pelo gosto e indicação. Uma vez procurei este assunto na net e não achei. Quando estudei para publicação, tive o prazer em me exercitar em um assunto que desconhecia. Um abraço.
ExcluirIncrível não é Aloísio como as coisas se relacionam? Esse negócio de blog é muito bom mesmo. Os Sebá, quem fez a pergunta ao Romirys, é forte na teoria dos números e possivelmente já estaria fazendo alguns rascunhos sobre o assunto, mas acho desnecessário, já que aqui está tão bem exposto. E você meu amigo, o que faz aqui nos Elementos é algo ímpar nos blogs do Brasil. Sucesso e um grande abraço!!
ResponderExcluirOi, Kleber!
ExcluirPutz, nem percebi que era o Sebá. Depois fui ver.
Obrigado, Kleber, pelo incentivo. Prossigamos na nossa missão de disseminar a Rainha das Ciências.
Outro grande abraço!
como resolver essa equação: E_5 (x!)=148
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