No presente post, usarei o conceito de congruências e o teorema de Euler (
) para demonstrar o pequeno teorema de Fermat (
).
Utilizaremos a seguinte notação:
a) "
" que significa "divide". Ex:
(
divide
);
b)
para indicar o máximo divisor comum de
e
;
c)
(
) para indicar que
e
deixam o mesmo resto quando divididos por
. O símbolo
indica uma relação de congruência e suas propriedades estão demonstradas no artigo 048.
Utilizaremos a seguinte notação:
a) "
b)
c)
Função de Euler : É a função aritmética
Por exemplo, no conjunto dos inteiros positivos
verificamos que apenas os elementos
e
são primos com
, logo
.
Em particular
e se
for um primo, sabemos que ele é primo com todos os inteiros positivos anteriores ao mesmo. Logo,
Sistema reduzido de resíduos módulo
( s.r.r
). É o conjunto
onde:
Dado o conjunto
de inteiros positivos
que são primos com
[
],
1) O número de elementos de
é o mesmo de
;
2) Para cada elemento
de
temos um elemento
de
, onde
(
).
Assim, o próprio conjunto
pode ser considerado trivialmente um s.r.r
.
Obs: Um sistema completo de resíduos módulo
( s.c.r
) é aquele onde verifica-se
e
mas, neste caso, o conjunto
seria dos restos da divisão de um inteiro qualquer por
, ou seja,
e
.
Exemplos de sistemas reduzidos de resíduos módulo
e
De fato, os dois conjuntos possuem o mesmo número de elementos e cada elemento do primeiro conjunto é primo com
. Além disso, referente ao segundo conjunto, temos
Pode-se provar que se
é um sistema reduzido de resíduos módulo
e se
, então
também é um sistema reduzido de resíduos módulo
.
Teorema de Euler: Seja
,
com
. Então
Demonstração: Lembrem-se que, em congruências, se
(
), mas a recíproca é verdadeira ( propriedade do cancelamento ) apenas se ![(u,m)=1 [;(u,m)=1;]](http://thewe.net/tex/%28u,m%29=1)
Seja
e
dois sistemas reduzidos de resíduos módulo
.
Seja
Assim, para cada
existe um
, onde
(
) e, consequentemente,
E como cada
é primo com
, ou seja
, podemos utilizar a propriedade do cancelamento:
Ex: Sejam
e
. Vejam que
. Os inteiros positivos
que são primos com
são
e
. Assim
. Logo,
De fato, pois ![9 | (4^6-1) \Rightarrow 9 | 4095 [;9 | (4^6-1) \Rightarrow 9 | 4095;]](http://thewe.net/tex/9%20%7C%20%284%5E6-1%29%20%5CRightarrow%209%20%7C%204095)
(
), ou seja ![4|(9^2-1) \Rightarrow 4|80 [;4|(9^2-1) \Rightarrow 4|80;]](http://thewe.net/tex/4%7C%289%5E2-1%29%20%5CRightarrow%204%7C80)
( ![mod [;mod;]](http://thewe.net/tex/mod)
)
( ![mod [;mod;]](http://thewe.net/tex/mod)
)
( ![mod [;mod;]](http://thewe.net/tex/mod)
)
( ![mod [;mod;]](http://thewe.net/tex/mod)
)
( ![mod [;mod;]](http://thewe.net/tex/mod)
)
E também, sendo
e
, já que de qualquer forma
, temos
e
Teorema de Fermat: Seja
um primo. Então para qualquer
, temos que
, ou seja
Demonstração: Primeiramente, caso
, temos
( ![mod [;mod;]](http://thewe.net/tex/mod)
)
( ![mod [;mod;]](http://thewe.net/tex/mod)
) e pela propriedade transitiva,
( ![mod [;mod;]](http://thewe.net/tex/mod)
). Suponha, então,
e somado ao fato de
ser um primo temos
. Logo, pelo teorema de Euler
Referência Bibliográfica
Teoria dos Números, de Salahoddim Shokranian, Marcus Soares e Hemar Godinho; Editora UNB, 1999.
Oi! Teixeira! Ando meio enrolado. Esses teoremas são fundamentais na Teoria do Números, e há mais o de Wilson. lembra-se que eu comentei que com P(n;p) se poderia demonstrá-lo? Bom P(n;n)=n!, agora se p é primo vamos considerar P(p-1;p-1)=(p-1)! Agora usando o pequeno teorema de Fermat em cada termo do desenvolvimento de P(p-1;p-1) o teorema de Wilson sai fácil. abçs
ResponderExcluirOi, Tavano!
ResponderExcluirAgora entendi o que quis dizer.Muito interessante! Essa correlação de assuntos matemáticos sempre me impressionaram.
Eu estava preparando o terreno para provar a recíproca do teorema de Wilson. Já escrevi sobre o de Euler e ainda falta o de Lagrange. Utilizarei estes dois teoremas na clássica demonstração do teorema de Wilson. Neste momento, publicarei a sua demonstração.
Mas já está em acabamento meu post sobre equação de congruência linear. Depois seguirá sobre o teorema de Lagrange e após isso, as demonstrações de Wilson(incluindo a sua).
Achei aquele post sobre Fórmula Geral sobre Somatório de Potências excelente e fiquei muito grato com sua colaboração. Pretendo colocá-lo no próximo carnaval UBM.
Abraços!
Boa noite. Gostaria de saber o que è essa formula geral sobre somatorio de potencias. estou desenvolvendo um trabalho nessa área e fiquei curioso.
Excluirobrigado
Oi, Palo Lucas! Veja o post 031. Agradeceria se fosse um seguidor.
ResponderExcluirValeu Broder!
ExcluirBrigaduuuuuuuuuuuuuu.
Grande Aloisio,
Excluirvc conhece o resultado:
A FUNÇÃO DE EULER É UMA SOMA FINITA
Estou tentando publicar, mas tá muito dificil.
Depois eu posto esse resultado.
Valeu.