quinta-feira, 18 de abril de 2013

113-Função de Mobius ( Parte 1)


"Não há nenhum ramo da matemática,
 por mais abstrato que seja,
 que não possa ser um dia aplicado ao mundo real."
Nikolai Lobachevski. 





Os inteiros positivos podem ser selecionados em duas grandes categorias:

(1) Os múltiplos de quadrados , ou seja, os da forma , com e ,  sendo um primo qualquer;
(2) Os não-múltiplos de quadrados que são os da forma , onde os são todos primos distintos.


Na categoria (2) é interessante, ainda, a seguinte subdivisão:


(2a) Os não múltiplos de quadrados com par;

(2b) Os não-múltiplos de quadrados com ímpar.


A função de Mobius indica em qual das seguintes divisões se encontra o inteiro positivo : (2b), (1) ou (2a).  Para isto, atribui as  imagens ,ou , respectivamente. Como é o único inteiro positivo que não pode ser fatorado em fatores primos, convenciona-se que .


é a probabilidade de um número escolhido no conjunto ser tal que , o que é a mesma para  .

Logo, a função de Mobius é a função aritmética definida como

- , se ;

- , se divide , para algum primo ;

- , se é o número de fatores primos distintos na fatoração de .


De modo geral temos, é claro, , para todo primo .

Diz-se que, quando , então está "livre" de quadrados.

Na prática, se queremos saber o valor da função de Mobius para um determinado número , iniciamos o processo de fatoração do mesmo e se surgir um primo repetido, então imediatamente sabemos que . Caso não repetindo nenhum primo na fatoração, então estaremos diante de um número livre de quadrados. Neste caso, sendo o número de primos, logo, .


De forma surpreendente, a função de Mobius se relaciona  com a teoria das partículas subatômicas. Também se envolve com numerosas identidades matemáticas. Alguns aspectos do seu comportamento ainda não estão inteiramente esclarecidos.



Duas propriedades da função de Mobius



Teorema 1. A função de Mobius é uma função aritmética multiplicativa, ou seja, dados e , tais que , então .

Demonstração. Se ou for , temos

  
ou

Seja agora e . Se um destes inteiros possuir quadrados em sua fatoração, logicamente

ou e também .Logo,


Caso agora os inteiros e sejam livres de quadrados, temos que os mesmos podem ser fatorados em

 

Todos os primos e são distintos. Primeiro porque os inteiros e são livres de quadrados e, em segundo, porque , por hipótese. Assim,

 


Teorema 2. Para qualquer inteiro positivo , temos . ( ver sobre esta notação no post  111 ).

Observação. Na prova utilizaremos o fato de que se é uma função aritmética multiplicatica,  então também é. Demonstrado no post 111 .  

Demonstração. Seja a potência inteira de um primo com  . Os divisores de são , , ,...,. Lembrando que , para , temos

 

Logo, se é a fatoração de um inteiro positivo qualquer e se , temos .


Em um próximo post, utilizando o Teorema de Gauss, veremos como a Função de Euler se relaciona com a Função de Mobius.





August Ferdinand Mobius foi matemático e astrônomo alemão. Estudou junto com Gauss . Sua tese de formação foi sobre equações trigonométricas. Sua área de pesquisa abrangeu Topologia, Geometria Projetiva, Teoria dos Números e Mecânica Celeste.

Á este grande matemático devemos os nomes Fita de Mobius, Transformações de Mobius, Fórmula de Inversão de Mobius ( que veremos na parte dois deste artigo ) e  Rede de Mobius.





Referência Bibliográfica


Funções Aritméticas  - Números Notáveis, de Edgard de Alencar Filho, Editora Nobel,1988

 
  

O Livro da Matemática, de Clifford A.Pickover, Editora Librero,





Imagem. http://www.biography.com/people/august-ferdinand-m%C3%B6bius-40272










  

6 comentários:

  1. Oi, Teixeira! Uma prova parcial de que essa probabilidade é 3/pi^2 está em FATOS MATEMÀTICOS-"Uma aplicação para zeta(2)". Lá os números "livre de quadrados" são chamados "números parentes".
    Abraços.

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  2. Oi, Tavano!

    Estou lembrado dos números parentes! Vou dar uma olhada no seu artigo que publicou nos FM.

    Esta teoria também se relaciona com a conjectura ABC, pesquise no google sobre ela.

    Valeu, obrigado!

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    1. Oi, Pesquisei. E, cada vez mais, chego à conclusão que o nó na Teoria dos Números é a soma, ao que parece mesmo que saibamos tudo sobre os divisores de N nada podemos afirmar sobre os divisores de N+1. Se me permite também tenho uma conjectura:
      Seja n>2 e seja S(n-1)=1+1/2+1/3+...+1/(n-1)=A/B então n|A se e somente se n é primo,com A e B primos entre si, já testei até n=17.
      Abçs-Desculpe por algo.

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    2. Oi, Tavano!

      Sabe que pensei a mesma coisa sobre ser a soma o entrave do completo entendimento sobre os mistérios dos números primos? É por isto foi tão custoso provar o UTF. O É porque envolve soma!

      Interessante a sua conjectura. No momento nem me passa por alto como chegou a ela. Mas a TN é assim mesmo. O vislumbramento de jóias como esta sempre surgem para as mentes treinadas.

      Abraços

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  3. Olá, Aloísio!!!!

    Parabéns, por tão expressiva postagem da 1ª parte... sobre a função de Mobius!!!!
    Já estou, ansioso para ver a sua 2ª parte dela!!!!
    No futuro, eu tenho a certeza que a humanidade, ao explorar a sua última fronteira, o imenso universo, deverá usar essa função para ir cada vez mais... adiante no seu intento!!!!!

    É surpreendente e merece, não só a minha admiração por ti, amigo Aloísio, essa sua capacidade invulgar em lidar com a ciência dos números!!!! Não sei o que teria ainda o que estudar e/ou dominar, ao fazer um curso de nível superior, o qual, eu o incentivo a fazer quando sair da farda e... cara, aproveita esse teu dom e... já como matemático autodidata realiza esses interessantes trabalhos, o que não faria após uma "reciclagem" numa universidade???? Tem o meu eterno apoio!!!!
    Eu diria, Aloísio, que se você estivesse em uma reunião ou congresso dos sábios, magos e/ou matemáticos do passado, você seria sem dúvidas, o mago Merlin!!!!

    um abraço!!!!!

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    1. Oi, Valdir!

      Tem muita coisa que de penoso entendimento para o Homem. Um dos grandes mistérios é quem criou o criador, e quem criou o criador do criador, etc...Ou se Deus sempre existiu. Ou se somos produto do acaso. Outra coisa é a organização dos númeos primos na reta real. Para mim, Deus é a Ciência Máxima e cada vez que o Homem descobre algum mistério da natureza, ele se aproxima cada vez mais do Divino.

      Obrigado pelas palavras de incentivo.

      Abraços

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