002-Progressão Aritmética de Ordem Superior

"...vemos apenas a ponta do iceberg..."

 

Passarei algumas idéias que tive, ainda no período estudantil, no que tange a invenção do conceito de DERIVADA NATURAL aplicado a qualquer tipo de sequência. O termo genérico de uma PA(g) - Progressão Aritmética de ordem g,  que será definida a seguir, também partiu de minhas investigações.

Trataremos de sequências de natureza polinomial. 

Sequência nada mais é do que uma função com o pré-requisito de que o conjunto domínio é o conjunto dos inteiros positivos { 1,2,3,...,n,...} e o contra-domínio é um subconjunto do conjunto dos números reais:

{ P(1), P(2), P(3),...,P(n),...}

P(n), chamado de termo geral da sequência, é função de n para alguma lei de formação e quando essa lei é uma expressão de natureza polinomial, temos uma sequência polinomial.

Uma sequência polinomial, definido por uma expressão redutível a um polinômio de grau g, é também chamada de Progressão Aritmética de Ordem g, que para simplicidade, será simbolizada por PA(g). Uma PA(1) é uma PA simples cujo termo geral é

P(n) = A0 + (n-1)A1

Uma PA(g) tem o termo genérico definido por

P(n) = A0 + (n-1)A1 + (n-1)(n-2)A2/2! + (n-1)(n-2)(n-3)A3/3! + ...
...+(n-1)(n-2)(n-3)...(n-g)Ag/g!

Onde os coeficientes A0, A1, A2,...,Ag são todos reais com Ag≠0 e eles serão investigados a seguir ( é o principal objetivo deste trabalho ).

Interessante observar que, na PA de ordem 1, no termo genérico
P(n) = A0 + (n-1)A1, vemos apenas a "ponta do iceberg", porque está subentendido apenas os  fatoriais 0!=1 e 1!=1. Veja:

P(n) = A0/0! + (n-1)A1/1!

Qualquer sequência polinomial é uma PA(g), por exemplo

P(n) = n² = 1 + (n-1)3 + (n-1)(n-2)2/2! é uma PA(2)

É bom redefinir o conceito de razão de uma PA. Numa PA simples, a razão é a diferença de dois termos consecutivos 
 

r = P(n+1)-P(n)

que é sempre constante. 

Designo a operação

P1(n)=P(n+1)-P(n) 

aplicada em P(n), de DERIVADA NATURAL DE UMA SEQUÊNCIA, para diferenciar da derivada infinitesimal de funções contínuas. Abreviadamente, neste trabalho, indicaremos P1(n)=P(n+1)-P(n) apenas como DERIVADA N e ficará subtendido que se trata de DERIVADA NATURAL DE UMA SEQUÊNCIA. 


Mais adiante, veremos que uma PA(g) tem g razões que dependem da DERIVADA N.


Conceito de derivada N de outras ordens:

P1(n) é a derivada N aplicada em P(n)

P2(n) é a derivada N aplicada em P1(n)

…....

Pi(n) é a derivada N aplicada em P(i-1)(n)

Assim, de maneira breve, em relação a P(n),  defino as derivadas N: P1(n), P2(n),...,Pi(n), de ordens 1,2,..e i, respectivamente. 

Defino dessa forma porque esse conceito estrutural de derivadas ordens superiores é semelhante ao da derivada infinitesimal.

TEOREMA:

Se

P(n) = A0 + (n-1)A1 + (n-1)(n-2)A2/2! + (n-1)(n-2)(n-3)A3/3! + ...
...+(n-1)(n-2)(n-3)...(n-g)Ag/g!

e se P1(n)=P(n+1)-P(n) é a DERIVADA N de P(n),


então

P1(n) = A1 + (n-1)A2 + (n-1)(n-2)A3/2! + (n-1)(n-2)(n-3)A4/3!+ ...

...+(n-1)(n-2)(n-3)...(n-[g-1])Ag/(g-1)!

O que significa isso? 

a) Primeiramente que, se P(n) tem grau g, então P1(n) tem grau ( g-1);

b) Todos os coeficientes de P1(n) são os mesmos de P(n) ( com exceção de A0 ) mas transladados uma parcela para a esquerda.

A demonstração é simples, mas extensiva. Basta substituir n por n+1 na expressão P(n) e diferenciar o resultado da mesma P(n). Reagrupando os termos semelhantes (n-1)..(n-i) obtemos a expressão para P1(n).

Agora fica fácil investigar a natureza dos coeficientes A0, A1, A2,...,Ai,...Ag.

Dado P(n), o termo genérico de uma PA(g), temos:

Em P(n)= A0+ A1(n-1)+... ( ordem ou grau g ) :

A0 = P(1)

Em P1(n)= A1+ A2(n-1)+... ( ordem ou grau g-1 ):

A1 = P1(1)

Em P2(n)= A2+ A3(n-1)+... ( ordem ou grau g-2 ):

A2 = P2(1)

Em P3(n)= A3+ A4(n-1)+... ( ordem ou grau g-3 ):

A3 = P3(1)

…......................

Em Pi(n)= Ai+ A(i+1)(n-1)+... ( ordem ou grau g-i ):

Ai = Pi(1)

….............................

Em Pg(n)= Ag ( ordem ou grau g-g =0):

Ag = Pg(1)

Observem que a g-ésima derivada N de P(n) é uma constante, pois tem grau 0.

Interpretação: se encararmos P1(n)=P(n+1)-P(n) como uma segunda sequência polinomial, então P1(1) será o primeiro termo desta sequência. Logo, P2(1), P3(1), P4(1),... etc serão os primeiros termos das sequências correspondentes a P2(n), P3(n), P4(n), etc.

Uma maneira bem simples de ver isso é analisarmos a variação numérica de, por exemplo P(n) = n²( triângulo das variações ):

1    4      9

3     5

2

A primeira linha corresponde a P(n)= n² cujo primeiro termo é P(1)=1

A segunda linha corresponde a P1(n)=P(n+1)-P(n) cujo primeiro termo é P1(1)=3

A terceira linha corresponde a P2(n)=P1(n+1)-P1(n) cujo primeiro termo é P2(1)=2=cte

Assim,  n² = A0    + (n-1)A1    + (n-1)(n-2)A2/2 =

                 = P(1) +  (n-1)P1(1) + (n-1)(n-2)P2(1)/2

                 =    1 +     (n-1) 3    +  (n-1) (n-2) 2 /2

Outro exemplo:

P(n) =7n³ - 8n² + 11n – 9

Na prática, se temos g=a, temos que analisar a+1 termos da sequência para acharmos todos os coeficientes.

Neste caso, g=3, e calculamos 

P(1)=1,  P(2)=37,  P(3)=141 e  P(4)=355

1     37       141      355

36    104      214

68       110

42

Logo,

7n³ - 8n² + 11n – 9=

1 + (n-1)36 + (n-1)(n-2)68/2! + (n-1)(n-2)(n-3)42/3!

Concluimos então, que uma PA(g) pode ser reescrita como

P(n) = P(1) + (n-1)P1(1) + (n-1)(n-2)P2(1)/2! + (n-1)(n-2)(n-3)P3(1)/3! + ...
...+(n-1)(n-2)(n-3)...(n-g)Pg(1)/g!

Onde os coeficientes P1(1), P2(1), P3(1),...,Pg(1) são as g razões da PA(g)

No próximo post mostrarei a técnica para achar a soma do n primeiros termos de uma PA(g) onde será definido o conceito de INTEGRAL NATURAL, um poderoso recurso para somatórios.