ELEMENTOS: Progressões e Séries

No Cálculo Infinitesimal, uma função que não é alterada pela operação derivada é $[;f(x)=e^x;]$ , pois $[;f_'(x)=e^x;]$ , com reflexo na sua expansão por série infinita: $[;e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...;]$ . No Cálculo Natural também temos uma função desta forma equivalente.

No quociente de Newton ( $[;\Delta x \neq 0;]$ )

$[;f_{\Delta x}^{(1)}(x)= \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x};]$

se $[;lim \Delta x =0;]$ temos a derivada infinitesimal $[;f^'(x);]$ e se $[;\Delta x = 1;]$ temos a derivada N (natural) $[;f^{(1)}(x)=P(x+1)-P(x);]$ aplicável numa função aritmética (sequência ) $[;\mathbb{N^*}\rightarrow R;]$ .

Uma função inalterável para a derivada N é $[;f(x)=2^{x-1};]$ porque $[;f^{(1)}(x)=f(x+1)-f(x)=2^x-2^{x-1}=2^{x-1};]$ . Assim,

$[;f(x)=f^{(1)}(x)=f^{(2)}(x)=...=f^{(i)}(x)=...=2^{x-1};]$ e

$[;f(1)=f^{(1)}(1)=f^{(2)}(1)=...=f^{(i)}(1)=...=2^0=1;]$

Se $[;f(x);]$ for uma função polinomial de grau $[;g;]$ , pelo que aprendemos no post Progressão Aritmética de Ordem Superior , temos

$[;f(x)= f(1)+ (x-1)f ^{(1)}(1)+ ( x-1)(x-2)\frac{f ^{(2)}(1)}{2!}+...+(x-1)(x-2)...(x-g)\frac{f ^{(g)}(1)}{g!};]$ ( 1 )

e a representação polinomial infinita de $[;f(x)=2^{x-1};]$ , à base do Cálculo N, é expressa como

$[;2^{x-1}=1+(x-1)+(x-1)(x-2)\frac{1}{2!}+(x-1)(x-2)(x-3)\frac{1}{3!}+...;]$

válida para $[; x \in N^*;]$ . Isto porque, se admitirmos, por exemplo, $[;x=0;]$ , temos a intrigante "igualdade"

$[;\frac{1}{2}=1-1+1-1+1-1 +...;]$

Curiosamente, o matemático italiano Guido Grande $[;(1671-1742);]$ ( a quem devemos o gráfico conhecido como ROSA DE GRANDI ), em correspondência com o universalista alemão Goottfried Leibniz $[;(1646-1716);]$ questionou a validade deste resultado obtido daquela vez pela série infinita $[;\frac{1}{x+1}=1-x+x^2-x^3+...;]$ quando $[; x=1;]$ .

Dado $[;\Delta x \in \mathbb{R};]$ não nulo e $[;f(x);]$ uma função qualquer,o quociente de Newton nos fornece os coeficientes da interessante série mais geral

$[;f(x)=f(\Delta x)+(x-\Delta x)f_{\Delta x}^{(1)}(\Delta x)+ (x-\Delta x)(x-2\Delta x)\frac{f_{\Delta x}^{(2)}(\Delta x)}{2!}+;]$

$[;+(x-\Delta x)(x-2\Delta x)(x-3\Delta x) \frac{f_{\Delta x}^{(3)}(\Delta x)}{3!}+...;]$ ( 2 )

de forma que:

a) Se $[;f(x);]$ for um polinômio, a série é finita e válida para qualquer valor real de $[; x;]$ .
b) Se $[;f(x);]$ não for um polinômio, a série é infinita e válida apenas para $[;x=w\Delta x;]$ , com $[;w \in \mathbb{N^*};]$ .

Exemplo: Seja $[;f(x)=x^2;]$ . Os desenvolvimentos de $[;f(x);]$ por meio de ( 2 ) quando $[;\Delta x=2;]$ , $[;\Delta x =5;]$ ou $[;\Delta x =13;]$ são, respectivamente,

$[;x^2=4 + 6(x-2)+(x-2)(x-4)+0+0+...;]$

$[;x^2=25+15(x-5)+(x-5)(x-10)+0+0+...;]$

$[;x^2=169+39(x-13)+(x-13)(x-26)+0+0+...;]$

Agora, se em ( 2 ) $[;\Delta x = 1;]$ , temos ( 1 ), mas se $[;lim \Delta x=0;]$ ( 2 ) converte-se na conhecida série de Taylor:

$[;f(x)=f(0)+xf^'(0)+x^2\frac{f^{''}(0)}{2!}+x^3\frac{f^{'''}(0)}{3!}+...;]$

O nascer do sol é uma certeza física ou matemática?

DERIVADA GEOMÉTRICA ou derivada $G$ é uma operação aplicada em uma função aritmética qualquer $f(n)$ (desde que $f(n)\neq 0$ para qualquer $n \in \mathbb{N^*}$ ), originando uma nova função aritmética $f_{*1}(n)$ definida por

$f_{*1}(n)=\frac{f(n+1)}{f(n)}$

A derivada geométrica aplicada em uma progressão geométrica ordinária ( $PG$ ) definida por $g(n)=A_oA^{n-1}$ é

$g_{*1}(n) =\frac{g(n+1)}{g(n)}=\frac{A_0.A_1^n}{A_0.A_1^{n-1}}= A_1^{n-(n-1)}=A_1=q=cte$

Assim a derivada $G$ de uma $PG$ ordinária é uma função aritmética constante $g_{*1}(n)=q$ cujo valor é a própria razão da mesma.

INTEGRAL GEOMÉTRICA ou integral $G$ é a operação inversa da derivada $G$ de forma que se existir uma função aritmética definida por $F(n)$ , onde $F_{*1}(n)=\frac{F(n+1)}{F(n)}=f(n)$ , então $F(n)$ é a integral $G$ de $f(n)$ . Simboliza-se $\Omega f(n)=F(n)$ e $\Omega_{a}^{b} f(n)=\left \{ F(n) \right \}_{a}^{b}=\frac{F(b)}{F(a)}$ , onde $a<b$ são considerados limites racionais.

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA DE ORDEM $K$ ou $PG(k)$ é uma função aritmética definida por

$g(n)=A_0.A_1^{\binom{n-1}{1}}.A_2^{\binom{n-1}{2}}...A_k^{\binom{n-1}{k}}$ ( 1 )

com $A_0,A_1,A_2,...A_k\in\mathbb{R}$ e $A_k \neq 1$ .

TEOREMA

Se $g(n)$ é uma $PG(k)$ conforme ( 1 ), então sua derivada $G$ é

$g_{*1}(n)=A_1.A_2^{\binom{n-1}{1}}A_3^{\binom{n-1}{2}}...A_k^{\binom{n-1}{k-1}}$ ( 2 )

Comparando ( 1 ) e ( 2 ), vemos que:

1) Se $g(n)$ tem ordem $k$ , então $g_{*1}(n)$ tem ordem $k-1$ .

2) Os coeficientes de $g_{*1}(n)$ são os mesmos de $g(n)$ , com exceção de $A_0$ , mas transladados de um fator para a esquerda.

DEMONSTRAÇÃO

$g_{*1}(n)=\frac{g(n+1)}{g(n)}=$ $\frac{A_0}{A_0}$ $.\frac{A_1^{\binom{n}{1}}}{A_1^{\binom{n-1}{1}}}$ $.\frac{A_2^{\binom{n}{2}}}{A_2^{\binom{n-1}{2}}}$ $...\frac{A_k^{\binom{n}{k}}}{A_k^{\binom{n-1}{k}}}=$

$= A_1^{\binom{n}{1}-\binom{n-1}{1}}.A_2^{\binom{n}{2}-\binom{n-1}{2}}...A_k^{\binom{n}{k}-\binom{n-1}{k}}$

Agora, lembrem-se que a soma de duas células consecutivas ${m \choose p}+ {m \choose {p+1}}$ do triângulo de Pascal resulta numa célula da linha seguinte $m+1$ e da mesma coluna $p+1$ , ou seja, ${m \choose p}+ {m \choose {p+1}}= {{m+1} \choose {p+1}}$ ( RELAÇÃO DE STIFFEL ). Fazendo $m=n-1$ e $p=k-1$ a relação fica

${{n-1} \choose {k-1}}+ {{n-1} \choose k}= {n \choose k}\Rightarrow {n \choose k}-{{n-1} \choose k}={{n-1} \choose {k-1}}$

Logo, temos ( 2 ): $g_{*1}(n)=A_1.A_2^{\binom{n-1}{1}}A_3^{\binom{n-1}{2}}...A_k^{\binom{n-1}{k-1}}$

NOTAÇÃO DAS DERIVADAS $G$ SUCESSIVAS DE $g(n)$

$g_{*1}(n)$ , $PG$ de ordem $k-1$ , é o resultado da aplicação da derivada $G$ em $g(n)$ , $PG$ de ordem $k$ ;

$g_{*2}(n)$ , $PG$ de ordem $k-2$ , é o resultado da aplicação da derivada $G$ em $g_{*1}(n)$ , $PG$ de ordem $k-1$ ;

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$g_{*i}(n)$ , $PG$ de ordem $k-i$ , o resultado da aplicação da derivada $G$ em $g_{*(i-1)}(n)$ , de ordem $PG$ $k-(i-1)$ ;

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$g_{*(k-1)}(n)$ , $PG$ de ordem $k-(k-1)=1$ , o resultado da aplicação da derivada $G$ em $g_{*(k-2)}(n)$ , $PG$ de ordem $2$ .

Neste caso, $g_{*(k-1)}(n)$ $=A_0.A_1^{\binom{n-1}{1}}=A_0.A_1^{n-1}$

Assim, $g_{*k}(n)$ , é uma $PG$ de ordem $0$ , o resultado da aplicação da derivada $G$ em $g_{*(k-1)}(n)$ , $PG$ de ordem $1$ .

Portanto, $g_{*k}(n)=A_0=cte$ . E para todo $i>k$ temos $g_{*i}(n)=1$ .

INVESTIGAÇÃO DAS BASES $A_0, A_1,A_2,...,A_k$

Para $n=1$ , temos $\binom{n-1}{p}=0$ , visto que $n-1$ é fator de ${n-1 \choose p}=(n-1)(n-2)...(n-p).\frac{1}{p!}$ . Em consequência, os valores das bases $A_0, A_1,A_2,...,A_k$ são calculados conforme a seguir.

$g(n)=A_0.A_1^{\binom{n-1}{1}}.A_2^{\binom{n-1}{2}}...A_k^{\binom{n-1}{k}} \Rightarrow g(1)=A_0$

$g_{*1}(n)=A_1.A_2^{\binom{n-1}{1}}.A_3^{\binom{n-1}{2}}...A_k^{\binom{n-1}{k-1}}\Rightarrow g_{*1}(1)=A_1$

$g_{*2}(n)=A_2.A_3^{\binom{n-1}{1}}.A_4^{\binom{n-1}{2}}...A_k^{\binom{n-1}{k-2}}\Rightarrow g_{*2}(1)=A_2$

...............................................................................................................

$g_{*i}(n)=A_i.A_{i+1}^{\binom{n-1}{1}}.A_{i+2}^{\binom{n-1}{2}}...A_k^{\binom{n-1}{k-i}}\Rightarrow g_{*i}(1)=A_i$

...............................................................................................................

$g_{*k}(n)=A_k \Rightarrow g_{*k}(1)=A_k$

Logo, $g(n)$ pode ser reescrita como

$g(n)=g(1).[g_{*1}(1)]^{\binom{n-1}{1}}.[g_{*2}(1)]^{\binom{n-1}{2}}...[g_{*k}(1)]^{\binom{n-1}{k}}$

Exemplo de obtenção das bases. Seja a $PG(3)$ definido por $g(n)=A_0.A_1^{\binom{n-1}{1}}.A_2^{\binom{n-1}{1}}.A_3^{\binom{n-1}{3}}$ . Se seus $k+1=3+1=4$ valores iniciais são $g(1)=5, g(2)=5, g(3)=15, g(4)=270$ , podemos fazer um triângulo numérico onde a razão entre duas células consecutivas ( direita pela esquerda ) de uma mesma linha resulta na célula do meio da linha inferior. Veja:

$5$ $5$ $15$ $270$ $\rightarrow$ primeiros $4$ valores de $g(n)$ ;

$1$ $3$ $18$ $\rightarrow$ primeiros $3$ valores de $g_{*1}(n)$ ;

$3$ $6$ $\rightarrow$ primeiros $2$ valores de $g_{*2}(n)$ , lembrando que estes dois valores são termos de uma $PG$ ordinária.

$2$ $\rightarrow$ primeiro valor de $g_{*3}(n)=cte$ por ser a razão $q$ de uma $PG$ ordinária.

Pegamos, então, as bases $A_0,A_1,A_2,A_3$ na diagonal esquerda deste triângulo numérico:

$A_0=5,A_1=1,A_2=3,A_3=2$

Logo, $g(n)=5.3^{\binom{n-1}{2}}.2^{\binom{n-1}{3}}$ , já que $A_1=1$

Observação: a função aritmética finita cujos valores são $f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3$ tanto pode ser definida por $p(n)=n$ como por $g(n)=2^{\binom{n-1}{1}}0,75^{\binom{n-2}{2}}$ , com $1\leq n \leq 3$ , caracterizando uma progressão aritmética de primeira ordem ( $PA(1)$ ) no primeiro caso e uma progressão geométrica de segunda ordem ( $PG(2)$ ), no segundo caso. No entanto, se $n>3$ , enquanto $p(4)=4$ , por sua vez, $g(4)=3,375$ , ou seja, cada progressão segue seu caminho de acordo com sua natureza. Dado então $s \in \mathbb{N}$ , pode-se mostrar que a sequência $(1,2,3,4,...,s-1,s)$ pode ser os primeiros $s$ valores de uma $PG$ de ordem $s-1$ , por maior que seja $s$ , com a seguinte armadilha: $g(s+1) \neq s+1$ !!. Será que na natureza existem funções enganadoras como esta? Espero que não porque quero continuar tendo a certeza de que o sol nascerá amanhã....

PRODUTO $\Pi_n$ DOS $n$ PRIMEIROS TERMOS DE UMA FUNÇÃO ARITMÉTICA QUALQUER

Seja $f(n)$ uma função aritmética qualquer. Se existir $F(n)$ ( $F(n)\neq0$ ) tal que $f(n)=\frac{F(n+1)}{F(n)}$ então

$\Pi_n=f(n).f(n-1)...f(3).f(2)f(1)=\frac{F(n+1)}{F(n)}.\frac{F(n)}{F(n-1)}...\frac{F(4)}{F(3)}.\frac{F(3)}{F(2)}.\frac{F(2)}{F(1)}$

E, após o cancelamento de numeradores com denominadores iguais,concluímos que

$\Pi_n=\frac{F(n+1)}{F(1)}=\Omega_1^{n+1} f(n)$

ou seja, o produto $\Pi_n$ dos $n$ primeiros termos de uma função aritmética qualquer $f(n)$ é a integral $G$ $\Omega f(n)$ desta sequência nos limites racionais $n+1$ e $1$ .

PRODUTO $\Pi_n$ DOS $n$ PRIMEIROS TERMOS DE UMA $PG(k)$

Se a derivada $G$ de $g(n)=A_0.A_1^{\binom{n-1}{1}}.A_2^{\binom{n-1}{2}}...A_k^{\binom{n-1}{k}}$ é

$g_{*1}(n)=A_1.A_2^{\binom{n-1}{1}}A_3^{\binom{n-1}{2}}...A_k^{\binom{n-1}{k-1}}$

então, por indução inversa, podemos dizer que a integral $G$ de $g(n)$ é

$\Omega g(n)=$ $G(n)=$ $\alpha.A_0^{\binom{n-1}{1}}A_1^{\binom{n-1}{2}}...A_k^{\binom{n-1}{k+1}}$

onde $\alpha$ é uma constante real arbitrária chamada de constante de integração geométrica. Logo, como $G(1)= \alpha$ , temos

$\Pi_n=\Omega_1^{n+1}g(n)=$ $\frac{G(n+1)}{G(1)}=$ $\frac{\alpha. A_0^{\binom{n}{1}}.A_1^{\binom{n}{2}}...A_k^{\binom{n}{k+1}}}{\alpha}\Rightarrow$

$\Pi_n=A_0^{\binom{n}{1}}.A_1^{\binom{n}{2}}...A_k^{\binom{n}{k+1}}$

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