No quociente de Newton (
se
temos a derivada infinitesimal
e se
temos a derivada N (natural)
aplicável numa função aritmética (sequência )
.
Uma função inalterável para a derivada N é
porque
. Assim,
Uma função inalterável para a derivada N é
Se
for uma função polinomial de grau
, pelo que aprendemos no post Progressão Aritmética de Ordem Superior , temos
( 1 )
e a representação polinomial infinita de
, à base do Cálculo N, é expressa como
válida para
. Isto porque, se admitirmos, por exemplo,
, temos a intrigante "igualdade"
Curiosamente, o matemático italiano Guido Grande
( a quem devemos o gráfico conhecido como ROSA DE GRANDI ), em correspondência com o universalista alemão Goottfried Leibniz
questionou a validade deste resultado obtido daquela vez pela série infinita
quando
.
Dado
não nulo e
uma função qualquer,o quociente de Newton nos fornece os coeficientes da interessante série mais geral
de forma que:
a) Se
b) Se
Exemplo: Seja
Agora, se em ( 2 )
, temos ( 1 ), mas se
( 2 ) converte-se na conhecida série de Taylor:
Interessante este post, mas vejo que a função [;f(x) = 2^{x + a};] também possui derivada finita igual a própria função ou estou enganado?
ResponderExcluirVocê está correto, Paulo Sérgio. A derivada natural ou finita é a mesma para [;f(x)=k.2^x;].No seu exemplo, [;k=2^a;].No entanto, escolhi [;k=2^{-1};] de forma que os coeficientes da minha série para [;f(x)=2^{x-1};] sejam iguais aos coeficientes da série para [;f(x)=e^x;]. Mas valeu a sua observação porque eu corrigi o parágrafo que começava com "A função inalterável..." substituindo por "Uma função inalterável...". Na série geral para [;\Delta x;], podemos obter um interessante desenvolvimento para [;f(x)=sen(x);] e [;\Delta x = \frac{\pi}{2};].Obrigado pela atenção e participação!
Excluir