domingo, 5 de fevereiro de 2012

014-O Desafio dos Números Primos

Desde que o homem aprendeu a calcular até os tempos atuais não foi possível estabelecer uma fórmula fechada [;P_n;] que gere a  sequência [;P_1=2;],[;P_2=3;],[;P_3=5;],[;P_4=7;],[;P_5=11;], etc, ou seja,

[;P_n=;] enésimo número primo

Esta questão desafiou os melhores matemáticos de cada época provando ser um empreendimento bastante difícil, para não dizer impossível.


De forma que Legendre [;(1752-1833);] provou que não existe função algébrica racional que sempre forneça primos, mesmo que fora de ordem. Vejam uma prova desta impossibilidade para polinômios no [;3^o;] ítem de Miscelânea.

O que existem são fórmulas limitadas que fornecem primos até certo ponto como, por exemplo, para [;1 \leq n \leq 8;], a fórmula abaixo fornece os [;8;] primeiros números primos em ordem crescente:

[;P_n=2+{n-1 \choose 1}+{n-1 \choose 2}-{n-1 \choose 3}+3{n-1 \choose 4}-9{n-1 \choose 5}+23{n-1 \choose 6}-53{n-1 \choose 7};]

Os coeficientes [;2;], [;1;], [;-1;], [;3;], etc, desta fórmula combinativa se conseguem a partir dos [;8;] primeiros primos usando o triângulo das variações, conforme o artigo Progressão Aritmética de Ordem Superior


Fermat [;(1601-1665);] tinha conjecturado que [;F(n)=2^{2^n}+1;] é primo para qualquer inteiro não-negativo [;n;]. No entanto Euler, em [;1732;], descobriu que [;F(5)=2^{2^5}+1=641.6700417;] e, portanto, composto.

Legendre observou que [;n^2+n+17;] é primo para [;0 \leq n \leq 16;] e que [;2n^2+29;]  é primo para [;0 \leq n \leq 28;]. Euler mostrou que [;n^2-n+41;]  é primo para [;0 \leq n \leq 40;] . [;n^2-79n+1601;] é primo para [;0 \leq n \leq 79;].

Em face da limitação algébrica dada por Legendre, os matemáticos voltaram-se para a estratégia de pesquisar sobre a distribuição média dos primos ao longo dos números naturais. O que se queria, na verdade, era achar uma função que indicasse a quantidade de primos menores que um dado inteiro positivo [;n;] e em função de [;n;] . Esta lei ou regra ficou conhecida como teorema dos números primos. 

[;\pi (n)=;] quantidade de primos [;\leq n;]


O próprio Legendre, após um exame árduo de uma tabela contendo um grande número de primos, conjecturou que [;\pi(n);] se aproxima de [;\frac{n}{ln (n)-1,08366};] quando [;n;] cresce indefinidamente. Mas Gauss,  na sua adolescência em [;1792;]  e usando a mesma técnica, foi mais longe ao anotar em seu pequeno caderno de memórias matemáticas o seguinte limite

[;\pi(n)=\lim_{n \rightarrow \infty};] [;\frac{n}{ln (n)};]


E isto é equivalente  a afirmar que

[;\lim_{n \rightarrow \infty};] [;\frac {\pi (n)}{n/ln(n)}=1;]


No entanto, nem mesmo o grande Gauss conseguiu provar sua própria conjectura.


Esforços matemáticos foram feitos no sentido de que em [;1850;], o matemático russo Chebyshev demonstrou que

[;\frac{7}{8}< \frac{\pi(n)}{n/ln(n)}<\frac{9}{8};], válido quando [;n \rightarrow \infty;].



Riemann, em [;1859;], em um artigo de nove páginas, esboçou um caminho para uma prova mas foi inconclusivo. Mas esta luz foi importantíssima para futuros pesquisadores.



Em [;1896;], dois matemáticos, Hadamard e De La Vallée Poussin, trabalhando independentemente mas debruçados sobre os escritos de Riemann, conseguiram finalmente demonstrar que [;\lim_{n \rightarrow \infty};] [;\frac {\pi (n)}{n/ln(n)}=1;] transformando a conjectura de Gauss no tão procurado Teorema dos Números Primos.

Este teorema tem uma interessante interpretação probabilística tendo em vista que se [;n;] crescer indefinidamente,


[;\frac{\pi (n)}{n/ln(n)}=\frac{1/n}{1/n}.\frac {\pi (n)}{n/ln(n)}=\frac{\pi(n)/n}{1/ln(n)}\rightarrow 1 \Rightarrow \frac{\pi (n)}{n}\rightarrow \frac{1}{ln(n);]

A última expressão nos diz que a probabilidade de encontrarmos uma quantidade [;\pi(n);] de números primos no intervalo fechado [;[1,n];] é aproximadamente [;\frac{1}{ln(n);], quando [;n \rightarrow \infty;].

O limite de Gauss não resolve a questão da fórmula fechada do [;n;]-ésimo número primo mas induz à uma estimativa para [;P_n;]  conforme o teorema a seguir.


TEOREMA

Se [;n \rightarrow \infty;], então [;P_n \rightarrow n.ln(n);]

Demostração: nos cálculos abaixo considere sempre  [;n \rightarrow \infty;] e o limite do primeiro membro depois do sinal [;=;].

Seja [;\frac{\pi(n)}{n/ln(n)}=1;]. Como [;\pi(P_n)=n;], temos [;\frac{n}{P_n/ln(P_n)}=1\Rightarrow \frac{P_n}{n.ln(P_n)}=1;]  ( 1 )

Tirando o logaritmo natural de ambos os membros,

[;ln \left[\frac{P_n}{n.ln(P_n)}\right]=ln(1) \Rightarrow ln(P_n)-ln(n)-ln ln (P_n)=0;]

Colocando [;ln(P_n);] em evidência, [;ln(P_n) \left[1-\frac{ln(n)}{ln(P_n)}-\frac{ln ln(P_n)}{ln (P_n)}\right]=0;];

Já que [;ln(P_n) \neq 0;], a expressão entre colchetes tende a [;0;], quando [;n \rightarrow \infty;] .


Mas, recordando que [;\lim_{u \rightarrow \infty}\frac{ln(u)}{u}=0;] o que implica que [;\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{ln ln(P_n)}{ln (P_n)}=0;],  a expressão do colchete reduz-se à [;1-\frac{ln(n)}{ln(P_n)}-0 \Rightarrow;] [;\lim_{n \to \infty}\frac{ln(n)}{ln(P_n)}=1;].

Multiplicando este último resultado pelo inverso de ( 1 )

 [;\lim_{n \to \infty};]  [;\frac{ln(n)}{ln(P_n)};]  [;\lim_{n \to \infty};] [;\frac{n.ln(P_n)}{P_n}=1.1\Rightarrow;]
[;\lim_{n \to \infty};] [;\frac{ln(n)}{ln(P_n)};]  [;\frac{n.ln(P_n)}{P_n}=1\Rightarrow;] 

[;\lim_{n \to \infty};]  [;\frac {n.ln(n)}{P_n}=1\Rightarrow;] 

[;\lim_{n \to \infty;]  [;P_n=n.ln(n);] 


 

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 

- Cálculo com Geometria Analítica - Volume 1, de George F.Simmons, Editora McGraw-Hill,1988;
- O que é a Matemática?, de Richard Courant e Herbert Robbins, Editora Moderna, 2000;
- História da Matemática, de Carl B.Boyer, Editora Edgard Blücher LTDA, 1974.

21 comentários:

  1. Li com atenção todo o post, mostrando o desenvolvimento das ideias sobre a distribuição de números primos. Acho que já tinha visto a prova em [;\lim_{n \to \infty P_n=n.ln(n);], mas não lembrava mais. Aqui a demonstração passo a passo foi clara e instrutiva. Seria interessante colocar em uma tabela de 3 colunas: n, pi(n) e P(n) para alguns valores de n. Parabéns pelo excelente post.

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    1. Prof, nesta demonstração que adaptei do livro de George Simmons parece que temos um paradoxo. Na passagem que diz que o limite de ln(n)/ln(Pn)=1 quando n tende ao infinito, isto não sugere que ln(Pn) tende a ln(n) e, portanto, Pn tende a n???

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    2. Oi Teixeira! As razões entre logaritmos enganam muito, veja o caso seguinte: (n^n).n/(n^n) fica claro que esta razão tende a infinito quando n tende a infinito, veja agora: ln[(n^n).n]/ln(n^n)={nlnn+lnn}/nlnn=(n+1)/n cujo limite é 1 para n tendendo ao infinito. Obrigado desculpe a intromissão.

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    3. Um interessante paradoxo, tavano: infinito=1. Já vi que tem muita habilidade com logaritmos.

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  2. Bom dia Aloísio, tudo bem? Mas que maravilha esse artigo heim? Só li nomes de grandes matemáticos. Isso mostra o quão essa função para gerar os números primos era almejada. Bem que o Paulo me avisou para ler o livro do Simmons. No link abaixo tem um pequeno texto, também interessante:
    http://obaricentrodamente.blogspot.com/2010/12/dirichlet-e-os-numeros-primos-de-uma.html

    Um grande abraço!

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    1. Oi, Kleber, o Cálculo I e II de Simmons são extremamentes interessantes. É um tipo de leitura agradável sem muito formalismo mas sem atentar para o rigor. Os apêndices e as notas históricas ao final destes volumes são excelentes. Eu deixei um comentário no post do seu link. Obrigado!

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  3. Irei ver este assunto no livro. As vezes, encontramos alguns erros matemáticos em bons livros.

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  4. Pág 620, Volume I.( Cálculo de Simmons).

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  5. Oi Teixeira! O que você acha disso?. Seja a^a=x, dizemos então que a é a raiz transcendente de x e escrevemos a=T(x). Seja n=p/lnp => 1/n=lnp/p => e^(1/n)=p^(1/p) =>.....e ^(-1/n)=1/(p^(1/p). Note que o segundo membro é (1/p)^(1/p) e que portanto 1/p=T(e^(-1/n)). Não acha legalzinho?

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  6. Um bela igualdade, TAVANO! É de sua autoria?

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    1. Oi Teixeira! A raiz transcendente é uma invenção minha (ou uma reinvenção).Algumas curiosidades: Os números de 0 a 1 que têm raiz transcendente, em verdade têm duas. Se admitirmos que sabemos calcular a raiz transcendente, equações como x*(e^x)=k ou do tipo x^(x^2)=K ou (e^x)+x=k passam a ser resolúveis "algebricamente". Pode-se provar que T(2) é irracional e daí provarmos que a raiz transcendente de 2 é transcendente no sentido algébrico e daí o nome que pus. Só mais uma coisa parece que a fórmula para números primos passa pela raiz transcendente não acha? Obrigado

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    2. Se quizer, mande um e-mail para eu analizar suas idéias. Está convidado para ser um membro de ELEMENTOS.

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  7. Oi Teixeira! Em 1997 estive pensando sobre o teorema de Legendre e cheguei ao seguinte: Inicialmente escreverei a==b (mód p) para significar que a é côngruo ou congruente a b módulo p. Seja P um polinômio de grau m com coeficientes inteiros que para todo n natural forneça um número primo. Seja r natural então P(r)=p(primo). Não é difícil provar que para todo k natural P(kp+r)==P(r) mod p basta lembrar que p==0 mod p. Como P(r)==0 mód p então P(kp+r)==0 mód p isso significa que P(kp+r)=qp para algum q, como P só fornece números primos então q=1 para todo k. Observemos agora o polinômio Q(x)=P(x)-p temos que Q(kp+r)=0 para todo k o que indica que Q tem infinitas raízes, isso é absurdo pois Q é de grau m e no máximo poderia ter m raízes, logo não existe P nas condições propostas e assim fica demonstrado o teorema.Obs.: Traballhei só com números positivos para encurtar a demonstração. O que você acha? Obrigado

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  8. Oi, Tavano

    Depois vou colocar isto no papel e te respondo, ok?

    Valeu, obrigado pela participação!

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    1. Oi, amigo, Tavano.Uma coisa não entendi na sua exposição. Se P(8)=13 e p=13, por exemplo, então Q(8)=P(8)-13=0. No entanto, podemos ter Q(9)=P(9)-13 = diferente de zero. A não ser que vc trate p como uma variável que sempre se modifica com P(x). Neste caso, p é função de x. Então eu pergunto: qual a natureza da função p?? Q(x) tem uma natureza misteriosa justamente porque a função p tem natureza misteriosa. Então não se pode dizer que p=Q(x)-P(x) é a diferença de dois polinômios.

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    2. O quero dizer é o seguinte: se P(x)é uma função que só fornece primos, então p ( sendo função de x ) é outra função que só fornece números primos. Neste caso, de acordo com vc, em Q(x)=P(x)-p, P(x)=p ( sempre ). Logo, Q(x) é uma função identicamente nula e, se tiver natureza polinomial, tem grau zero.

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    3. Oi Teixeira! O p é uma constante. Pelo exemplo seu: P(13k+8)=múltiplo de 13, isto é P(8), P(21), P(34)..etc são todos múltiplos de 13. Há um teorema verdadeiro que diz que se P(r)=p então P(kp+r)=múltiplo de p, daí que caímos no absurdo pois se P só gera números primos por hipótese e P(8), P(21), P(34), P(47) são todos múltiplos de 13 então P(13k+8) só pode ser igual a 13 que é o único múltiplo de 13 que é primo. Resumindo: P só gera primos, P(13k+8) é múltiplo de 13, dessas duas afirmações só podemos tirar uma conclusão P(13k+8)=13 para todo k, nesse caso Q não seria identicamente nula mas, Q(8)=0, Q(21)=0, Q(34)=0 etc. Espero ter sido claro, mas estou à disposição. Obrigado

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  9. Oi, Tavano! Agora, entendi, obrigado pela atenção e paciência. Vc perguntou o que eu acho? Brilhante! Simples e conclusivo. E pensar que existiam matemáticos antes da prova de Legendre se matando para encontrar P(n)=só primos...

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  10. Prof. Aloísio, fantástico o seu artigo, parabéns!
    Mas algo me chamou a atenção: No trecho: " Euler mostrou que [;n²-n+41;] é primo para [;0 \leq n \leq 40;], está um pouco confuso. No livro do Du Sautoy - A MÚSICA DOS NÚMEROS PRIMOS, pág 54, afirma ser a equação de Euler n² + n + 41. Estranho que o livro restringe a função para n de 0 a 39, mas aqui vc o restringe até a 40... curioso é que testei ambas as funções e resultaram ambas em números primos nas devidas restrições. Contudo a sua vai mais longe. AFINAL DE CONTAS, QUAL MESMO É A EQUAÇÃO QUE ELE BRINCOU?

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  11. Oi, Edmarcos. Obrigado. Conforme o livro História da Matemática, de Carl B.Boyer, capítulo 22, seção 17, Euler estudou a expressão [;n^2-n+41;] considerando seus valores primos de 1 ao 40. Mas acredito que ele também tenha considerado [;n^2+n+41;], conforme sua fonte.

    Um forte abraço.

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  12. Então pode mesmo ter estudado as duas expressões.
    Muito obrigado Prof. Aloisio

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