A derivada geométrica aplicada em uma progressão geométrica ordinária (
) definida por
é
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Assim a derivada
de uma
ordinária é uma função aritmética constante
cujo valor é a própria razão da mesma.
INTEGRAL GEOMÉTRICA ou integral
é a operação inversa da derivada
de forma que se existir uma função aritmética definida por
, onde
, então
é a integral
de
. Simboliza-se
e
, onde
são considerados limites racionais.
INTEGRAL GEOMÉTRICA ou integral
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA DE ORDEM
ou
é uma função aritmética definida por
com
e
.
TEOREMA
Se
é uma
conforme ( 1 ), então sua derivada
é
Comparando ( 1 ) e ( 2 ), vemos que:
1) Se
tem ordem
, então
tem ordem
.
2) Os coeficientes de
são os mesmos de
, com exceção de
, mas transladados de um fator para a esquerda.
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DEMONSTRAÇÃO
Agora, lembrem-se que a soma de duas células consecutivas
do triângulo de Pascal resulta numa célula da linha seguinte
e da mesma coluna
, ou seja,
( RELAÇÃO DE STIFFEL ). Fazendo
e
a relação fica
Logo, temos ( 2 ): ![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](https://latex.codecogs.com/gif.latex?g_%7B*1%7D%28n%29%3DA_1.A_2%5E%7B%5Cbinom%7Bn-1%7D%7B1%7D%7DA_3%5E%7B%5Cbinom%7Bn-1%7D%7B2%7D%7D...A_k%5E%7B%5Cbinom%7Bn-1%7D%7Bk-1%7D%7D)
NOTAÇÃO DAS DERIVADAS
SUCESSIVAS DE ![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](https://latex.codecogs.com/gif.latex?g%28n%29)
.........................................................................................................................
.........................................................................................................................
Neste caso,
Assim,
, é uma
de ordem
, o resultado da aplicação da derivada
em
,
de ordem
.
Portanto,
. E para todo
temos
.
INVESTIGAÇÃO DAS BASES ![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](https://latex.codecogs.com/gif.latex?A_0%2C%20A_1%2CA_2%2C...%2CA_k)
Para
, temos
, visto que
é fator de
. Em consequência, os valores das bases
são calculados conforme a seguir.
...............................................................................................................
...............................................................................................................
Logo,
pode ser reescrita como
Exemplo de obtenção das bases. Seja a
definido por
. Se seus
valores iniciais são
, podemos fazer um triângulo numérico onde a razão entre duas células consecutivas ( direita pela esquerda ) de uma mesma linha resulta na célula do meio da linha inferior. Veja:
Pegamos, então, as bases
na diagonal esquerda deste triângulo numérico:
Logo,
, já que ![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](https://latex.codecogs.com/gif.latex?A_1%3D1)
Observação: a função aritmética finita cujos valores são
PRODUTO
DOS
PRIMEIROS TERMOS DE UMA FUNÇÃO ARITMÉTICA QUALQUER
Seja
uma função aritmética qualquer. Se existir
(
) tal que
então
E, após o cancelamento de numeradores com denominadores iguais,concluímos que
ou seja, o produto
dos
primeiros termos de uma função aritmética qualquer
é a integral
desta sequência nos limites racionais
e
.
PRODUTO
DOS
PRIMEIROS TERMOS DE UMA
Se a derivada
de
é
então, por indução inversa, podemos dizer que a integral
de
é
onde
é uma constante real arbitrária chamada de constante de integração geométrica. Logo, como
, temos
kade a soma dos n primeiros termos?
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