Neste artigo, veremos a justificativa do porque o número de divisores de
é
. Veremos também um atalho eficaz para calcular a soma dos divisores positivos de qualquer número primo ou composto, assim como o cálculo da soma das potências destes divisores.
Para estas operações, apresento aos leitores a função aritmética multiplicativa.
Para estas operações, apresento aos leitores a função aritmética multiplicativa.
Função aritmética
é uma função
cuja lei de formação depende de
.
TEOREMA 1
Se
é multiplicativa e se
são inteiros positivos, onde cada um não tem fatores primos em comum com qualquer outro (
,
e
) , então
O que este teorema diz é que se a propriedade da função aritmética multiplicativa é válida para
fatores ( por definição ), então ela é válida para qualquer quantidade
de fatores, desde que sejam cumpridas as condições de primalidade entre eles.
Demonstração: será por indução. Suponha que o teorema seja verdadeiro para algum
. Com esta hipótese, mostrarei que ele é válido para
e, como consequência, a validade será estendida para
. Se não, vejamos. Seja
Pela condição
, o produto
não tem fatores primos comuns com
. Portanto,
. Pela definição de função aritmética multiplicativa e junto com a hipótese de indução, temos
Observação:
esta técnica de demostração se chama PRINCÍPIO DE INDUÇÃO. É
talvez o mais importante método indireto de prova matemática. Serve para provar
proposições que dependem de
. Semelhante ao "efeito dominó": derrubando um dominó de uma fileira de dominós, todos os posteriores caem.
TEOREMA 2
A função aritmética
número de divisores positivos de
é multiplicativa.
Demonstração: seja
e
na condição
. Sendo
e
, os conjuntos dos divisores de
e
são:
Como
,
e
não possuem fatores primos em comum. Assim, qualquer divisor do produto
será um número da forma
, com
onde
e
. Como temos
possiblidades para os divisores
de
e
possibilidades para os divisores
de
, temos então
possibilidades para os divisores
de
. Logo,
provando que
é uma função aritmética multiplicativa.
Observação: para
primo e
natural , temos
, porque os únicos divisores da potência de um número primo são
. Assim, sendo
uma função aritmética multiplicativa, podemos calcular
, para qualquer
, conforme o exemplo a seguir.
TEOREMA 3
A função aritmética
soma dos divisores positivos de
é multiplicativa.
Demonstração: utilizando as definições da demostração do teorema anterior, vamos mostrar que
, com
. Os divisores do produto
são da forma
, onde
e
, onde
e
são os números de divisores de
e
, respectivamente. Nestas condições, a soma
dos divisores de
será:
Colocando
em evidência,
Exemplo: ( lembrem-se que, para
primo,
).
.
O teorema a seguir será útil para a soma das potências dos divisores positivos de
.
TEOREMA 4
Se
a)
é o conjunto de divisores de
e
b)
é uma função aritmética multiplicativa qualquer.
então a função aritmética definida por
é também multiplicativa, ou seja, dados
e
inteiros positivos tais que
, temos
e o produto destes dois resultados,
..............................................................................
.........................................................................................
Como
..........................................................................
PROBLEMA 1
Com
primo,
natural
e
natural
, calcular a soma das
-ésimas potências dos divisores de
.
Resolução: os divisores de
são
e suas
-ésimas potências
formam uma
com primeiro termo
e razão
. Portanto,
para
, temos![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CSigma%20fd%28p%5Ek%29%3D1+p%5Eh+p%5E%7B2h%7D+...+p%5E%7Bkh%7D%3D%5Cfrac%7Bp%5E%7B%28k+1%29h%7D-1%7D%7Bp%5Eh-1%7D)
PROBLEMA 2
Calcular a soma dos cubos dos divisores de
.
Resolução: o que queremos é
com
. Ora,
é uma função aritmética (totalmente) multiplicativa porque para
,
. E se ainda
pelo teorema 4, temos,
caracterizando a multiplicabilidade (restrita) de
para
. Logo,
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
- Funções Aritméticas - Números Notáveis, de Edgard de Alencar Filho, Editora Nobel,1988
- Teoria dos Números, de Salahoddin Shokranian, Marcus Soares, Hemar Godinho; Editora UNB, 1998.
Cada dia que passa Elementos de Teixeira fica mais iteressante!
ResponderExcluirContinue assim!
ResponderExcluirObrigado, matemático Hunasses! Em breve verei uma teoria sua aqui publicada!
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