ELEMENTOS: 011-Funções Aritméticas Multiplicativas

Neste artigo, veremos a justificativa do porque o número de divisores de $2^5.5^{13}.11^8$ é $(5+1)(13+1)( 8+1)$ . Veremos também um atalho eficaz para calcular a soma dos divisores positivos de qualquer número primo ou composto, assim como o cálculo da soma das potências destes divisores.

Para estas operações, apresento aos leitores a função aritmética multiplicativa.

Função aritmética $f$ é uma função $\mathbb{N^*}: \left{1,2,3,...n,...\right }\rightarrow \mathbb{R}$ cuja lei de formação depende de $n$ .

$f$ é considerada multiplicativa se possui a seguinte propriedade: $f(mn)=f(m)f(n)$ , com $mdc(m,n)=1$ .

TEOREMA 1

Se $f$ é multiplicativa e se $n_1,n_2,...n_r$ são inteiros positivos, onde cada um não tem fatores primos em comum com qualquer outro ( $1\leq i, j \leq r$ , $i \neq j$ e $mdc(n_i,n_j)=1$ ) , então

$f(n_1.n_2....n_r)=f(n_1)f(n_2)...f(n_r)$

O que este teorema diz é que se a propriedade da função aritmética multiplicativa é válida para $2$ fatores ( por definição ), então ela é válida para qualquer quantidade $r$ de fatores, desde que sejam cumpridas as condições de primalidade entre eles.

Demonstração: será por indução. Suponha que o teorema seja verdadeiro para algum $k \in \mathbb{N}^*/k<r$ . Com esta hipótese, mostrarei que ele é válido para $k+1$ e, como consequência, a validade será estendida para $r$ . Se não, vejamos. Seja

$f(n_1.n_2....n_k)=f(n_1)f(n_2)...f(n_k)$ a hipótese de indução.

Pela condição $mdc(n_i,n_j)=1$ , o produto $n_1.n_2...n_k$ não tem fatores primos comuns com $n_{k+1}$ . Portanto, $mdc[(n_1.n_2...n_k),n_{k+1}]=1$ . Pela definição de função aritmética multiplicativa e junto com a hipótese de indução, temos

$f[(n_1.n_2....n_k).n_{k+1}]=f(n_1.n_2...n_k).f(n_{k+1})=f(n_1)(n_2)...f(n_k)f(n_{k+1})$

Mas sabemos que o teorema é válido para $k=2$ e por consequência ele é válido para qualquer $1\leq k \leq r$ .

Observação: esta técnica de demostração se chama PRINCÍPIO DE INDUÇÃO. É talvez o mais importante método indireto de prova matemática. Serve para provar proposições que dependem de $m \in \mathbb{N}$ . Semelhante ao "efeito dominó": derrubando um dominó de uma fileira de dominós, todos os posteriores caem.

TEOREMA 2

A função aritmética $d(n)=$ número de divisores positivos de $n$ é multiplicativa.

Demonstração: seja $a$ e $b$ $\in \mathbb{N^*}$ na condição $mdc(a,b)=1$ . Sendo $d(a)=s$ e $d(b)=t$ , os conjuntos dos divisores de $a$ e $b$ são:

$D(a)= \left \{ a_1=1, a_2, ...,a_{s-1},a_s=a \right \}$

$D(b)=\left \{ b_1=1, b_2,...,b_{t-1},b_t=b \right \}$

Como $mdc(a,b)=1$ , $a$ e $b$ não possuem fatores primos em comum. Assim, qualquer divisor do produto $a.b$ será um número da forma $a_i.b_j$ , com $mdc(a_i,b_j)=1$ onde $a_i \in D(a)$ e $b_j \in D(b)$ . Como temos $s$ possiblidades para os divisores $a_i$ de $a$ e $t$ possibilidades para os divisores $b_j$ de $b$ , temos então $s.t$ possibilidades para os divisores $a_i.b_j$ de $a.b$ . Logo, $d(a.b)=s.t=d(a).d(b)$ provando que $d(n)$ é uma função aritmética multiplicativa.

Observação: para $p$ primo e $k \geq 1$ natural , temos $d(p^k)=k+1$ , porque os únicos divisores da potência de um número primo são $1,p,p^2,...p^k$ . Assim, sendo $d(n)$ uma função aritmética multiplicativa, podemos calcular $d(n)$ , para qualquer $n$ , conforme o exemplo a seguir.

$d(98000)=d(2^4.5^3.7^2)=d(2^4).d(5^3).d(7^2)$

$=(4+1)(3+1)(2+1)=5.4.3=60$

TEOREMA 3

A função aritmética $S(n)=$ soma dos divisores positivos de $n$ é multiplicativa.

Demonstração: utilizando as definições da demostração do teorema anterior, vamos mostrar que $S(a.b)=S(a).S(b)$ , com $mdc(a,b)=1$ . Os divisores do produto $a.b$ são da forma $a_i.b_j$ , onde $1\leq i \ \leq s$ e $1 \leq j \leq t$ , onde $s$ e $t$ são os números de divisores de $a$ e $b$ , respectivamente. Nestas condições, a soma $S(a.b)$ dos divisores de $a.b$ será:

$S(a.b)= a_1(b_1+b_2+...b_t)+a_2(b_1+b_2+...b_t)+...+a_s(b_1+b_2+...b_t)$

Colocando $(b_1+b_2+...b_t)$ em evidência,

$S(a.b)=(a_1+a_2+...a_s)(b_1+b_2+...b_t)=S(a)S(b)$

Exemplo: ( lembrem-se que, para $p$ primo, $S(p^k)=1+p+p^2+...+p^k=\frac{p^{k+1}-1}{p-1}$ ).

$S(15288)=(2^3.3.7^2.13)=S(2^3)S(3)S(7^2)S(13)=\frac{2^4-1}{2-1}.\frac{3^2-1}{3-1}.\frac{7^3-1}{7-1}.\frac{13^2-1}{13-1}=47880$ .

$\rightarrow$ O teorema a seguir será útil para a soma das potências dos divisores positivos de $n$ .

TEOREMA 4

a) $D(n)= \left\{d_1,d_2,...,d_s \right\}$ é o conjunto de divisores de $n$ e

b) $f(m)$ é uma função aritmética multiplicativa qualquer.

então a função aritmética definida por $\sum {fd(n)}=f(d_1)+f(d_2)+...+f(d_s)$ é também multiplicativa, ou seja, dados $a$ e $b$ inteiros positivos tais que $mdc(a,b)=1$ , temos

$\sum fd(a.b)=\sum fd(a).\sum fd(b)$

Demostração: dado $n=a.b$ com $mdc(a,b)=1$ , sabemos que qualquer divisor deste produto é da forma $a_i.b_j$ , onde $a_i$ é dividor de $a$ e $b_j$ é divisor de $b$ , com $mdc(a_i,b_j)=1$ . Calculando o somatório $\sum fd(a)$ e $\sum fd(b)$ destes divisores,

$\sum fd(a)= f(a_1)+f(a_2)+...f(a_s)$ e $\sum fd(b)=f(b_1)+f(b_2)+...f(b_t)$

e o produto destes dois resultados,

$\sum fd(a).\sum fd(b)=[f(a_1)+f(a_2)+...f(a_s)][f(b_1).f(b_2)+...+f(b_t)]=$

$=f(a_1)[f(b_1)+f(b_2)+...+f(b_t)]+$

$+f(a_2)[f(b_1)+f(b_2)+...+f(b_t)]+$

..............................................................................

$+f(a_s)[f(b_1)+f(b_2)+...+f(b_t)]$

$=$

$+f(a_1)f(b_1)+f(a_1)f(b_2)+...+f(a_1)f(b_t)$

$+f(a_2)f(b_1)+f(a_2)f(b_2)+...+f(a_2)f(b_t)$

.........................................................................................

$+f(a_s)f(b_1)+f(a_s)f(b_2)+...+f(a_s)f(b_t)$

Como $f$ é multiplicativa, temos que $f(a_i)f(b_j)=f(a_ib_j)$ . Logo,

$\sum fd(a).\sum fd(b)=$

$=f(a_1b_1)+f(a_1b_2)+...+f(a_1b_t)+$

$=f(a_2b_1)+f(a_2b_2)+...+f(a_2b_t)+$

..........................................................................

$+f(a_sb_1)+f(a_sb_2)+...+f(a_sb_t)$

$=\sum fd(n)$

PROBLEMA 1

Com $p$ primo, $k$ natural $\geq 1$ e $h$ natural $>1$ , calcular a soma das $h$ -ésimas potências dos divisores de $p^k$ .

Resolução: os divisores de $p^k$ são $1,p,p^2,...,p^k$ e suas $h$ -ésimas potências $1^h, p^h,p^{2h},...,p^{kh}$ formam uma $PG$ com primeiro termo $a_1=1$ e razão $q=p^h$ . Portanto,

para $f(m)=m^h$ , temos $\Sigma fd(p^k)=1+p^h+p^{2h}+...+p^{kh}=\frac{p^{(k+1)h}-1}{p^h-1}$

PROBLEMA 2

Calcular a soma dos cubos dos divisores de $20$ .

Resolução: o que queremos é $\sum fd(20)$ com $f(m)=m^3$ . Ora, $f(m)$ é uma função aritmética (totalmente) multiplicativa porque para $m=ab$ , $f(ab)=(ab)^3=a^3.b^3=f(a)f(b)$ . E se ainda $mdc(n_1,n_2)=1$ pelo teorema 4, temos, $\sum fd(n_1n_2)=\sum fd(n_1).\sum fd(n_2)$ caracterizando a multiplicabilidade (restrita) de $\sum fd( n )$ para $f(m)=m^3$ . Logo,

$\sum fd(20)=\sum fd(2^2.5)=\sum fd(2^2).\ fd \sum (5)= \frac{2^{(2+1)3}-1}{2^3-1}.\frac{5^{(1+1)3}-1}{5^3-1}=$

$=9198$

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

- Funções Aritméticas - Números Notáveis, de Edgard de Alencar Filho, Editora Nobel,1988
- Teoria dos Números, de Salahoddin Shokranian, Marcus Soares, Hemar Godinho; Editora UNB, 1998.

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quinta-feira, 26 de janeiro de 2012

011-Funções Aritméticas Multiplicativas

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V.O