quinta-feira, 26 de janeiro de 2012

011-Funções Aritméticas Multiplicativas



Neste artigo, veremos a justificativa do porque o número de divisores de é . Veremos também um atalho eficaz para calcular a soma dos divisores positivos de qualquer número primo ou composto, assim como o cálculo da soma das potências destes divisores.

Para estas operações, apresento aos leitores  a função aritmética multiplicativa.
Função aritmética  é uma função cuja lei de formação depende de .
é considerada multiplicativa se possui a seguinte propriedade: , com .


TEOREMA 1

Se é multiplicativa e se são inteiros positivos, onde cada um não tem fatores primos em comum com qualquer outro ( , e   ) , então


O que este teorema diz é que se a propriedade da função aritmética multiplicativa é válida para   fatores ( por definição ), então ela é válida para qualquer quantidade de fatores, desde que sejam cumpridas as condições de primalidade entre eles.

Demonstração: será por indução. Suponha que o teorema seja verdadeiro para algum . Com esta hipótese, mostrarei que ele é válido para e, como consequência, a validade será estendida para . Se não, vejamos. Seja

  a hipótese de indução.

Pela condição , o produto não tem fatores primos comuns com . Portanto, . Pela definição de função aritmética multiplicativa e junto com a hipótese de indução, temos


Mas sabemos que o teorema é válido para e por consequência ele  é válido para qualquer .

Observação: esta técnica de demostração se chama PRINCÍPIO DE INDUÇÃO. É talvez o mais importante método indireto de prova matemática. Serve para provar proposições que dependem de . Semelhante ao "efeito dominó": derrubando um dominó de uma fileira de dominós, todos os posteriores caem.


TEOREMA 2

A função aritmética número de divisores positivos de é multiplicativa.

Demonstração: seja e na condição . Sendo e , os conjuntos dos divisores de   e são:  


Como , e não possuem fatores primos em comum. Assim, qualquer divisor do produto será um número da forma , com onde e . Como temos possiblidades para os divisores de e possibilidades para os divisores de , temos então possibilidades para os divisores de . Logo, provando que é uma função aritmética multiplicativa.

Observação: para primo e natural , temos , porque os únicos divisores da potência de um número primo são . Assim, sendo uma função aritmética multiplicativa, podemos calcular , para qualquer , conforme o exemplo a seguir.

  



TEOREMA 3

A função aritmética soma dos divisores positivos de  é multiplicativa.

Demonstração: utilizando as definições da demostração do teorema anterior, vamos mostrar que , com  . Os divisores do produto são da forma , onde e , onde e são os números de divisores de   e , respectivamente. Nestas condições, a soma dos divisores de será:


Colocando em evidência,





Exemplo: ( lembrem-se que, para primo, ).

.


O teorema a seguir será útil para a soma das potências dos divisores positivos de .


TEOREMA 4

Se
a) é o conjunto de divisores de e
b) é uma função aritmética multiplicativa qualquer.

então a função aritmética definida por é também multiplicativa, ou seja, dados  e  inteiros positivos tais que , temos



Demostração: dado com , sabemos que qualquer divisor deste produto é da forma , onde é dividor de e é divisor de , com . Calculando o somatório e destes divisores,

e  

e o produto destes dois resultados,




..............................................................................
.........................................................................................


Como é multiplicativa, temos que . Logo,


..........................................................................



PROBLEMA 1

Com primo, natural  e natural , calcular a soma das -ésimas potências dos divisores de .

Resolução: os divisores de  são  e suas -ésimas potências formam uma com primeiro termo  e razão . Portanto,

para , temos


PROBLEMA 2

Calcular a soma dos cubos dos divisores de .

Resolução: o que queremos é  com  . Ora,  é uma função aritmética (totalmente) multiplicativa porque para  , . E se ainda  pelo teorema 4, temos, caracterizando a multiplicabilidade (restrita) de  para .  Logo,




REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

- Funções Aritméticas  - Números Notáveis, de Edgard de Alencar Filho, Editora Nobel,1988
- Teoria dos Números, de Salahoddin Shokranian, Marcus Soares, Hemar Godinho; Editora UNB, 1998.

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