Neste artigo, veremos a justificativa do porque o número de divisores de é . Veremos também um atalho eficaz para calcular a soma dos divisores positivos de qualquer número primo ou composto, assim como o cálculo da soma das potências destes divisores.
Para estas operações, apresento aos leitores a função aritmética multiplicativa.
Para estas operações, apresento aos leitores a função aritmética multiplicativa.
Função aritmética é uma função cuja lei de formação depende de .
é considerada multiplicativa se possui a seguinte propriedade: , com .
TEOREMA 1
Se é multiplicativa e se são inteiros positivos, onde cada um não tem fatores primos em comum com qualquer outro ( , e ) , então
O que este teorema diz é que se a propriedade da função aritmética multiplicativa é válida para fatores ( por definição ), então ela é válida para qualquer quantidade de fatores, desde que sejam cumpridas as condições de primalidade entre eles.
Demonstração: será por indução. Suponha que o teorema seja verdadeiro para algum . Com esta hipótese, mostrarei que ele é válido para e, como consequência, a validade será estendida para . Se não, vejamos. Seja
a hipótese de indução.
Pela condição , o produto não tem fatores primos comuns com . Portanto, . Pela definição de função aritmética multiplicativa e junto com a hipótese de indução, temos
Observação:
esta técnica de demostração se chama PRINCÍPIO DE INDUÇÃO. É
talvez o mais importante método indireto de prova matemática. Serve para provar
proposições que dependem de . Semelhante ao "efeito dominó": derrubando um dominó de uma fileira de dominós, todos os posteriores caem.
TEOREMA 2
A função aritmética número de divisores positivos de é multiplicativa.
Demonstração: seja e na condição . Sendo e , os conjuntos dos divisores de e são:
Como , e não possuem fatores primos em comum. Assim, qualquer divisor do produto será um número da forma , com onde e . Como temos possiblidades para os divisores de e possibilidades para os divisores de , temos então possibilidades para os divisores de . Logo, provando que é uma função aritmética multiplicativa.
Observação: para primo e natural , temos , porque os únicos divisores da potência de um número primo são . Assim, sendo uma função aritmética multiplicativa, podemos calcular , para qualquer , conforme o exemplo a seguir.
TEOREMA 3
A função aritmética soma dos divisores positivos de é multiplicativa.
Demonstração: utilizando as definições da demostração do teorema anterior, vamos mostrar que , com . Os divisores do produto são da forma , onde e , onde e são os números de divisores de e , respectivamente. Nestas condições, a soma dos divisores de será:
Colocando em evidência,
Exemplo: ( lembrem-se que, para primo, ).
.
O teorema a seguir será útil para a soma das potências dos divisores positivos de .
.
O teorema a seguir será útil para a soma das potências dos divisores positivos de .
TEOREMA 4
Se
a) é o conjunto de divisores de e
b) é uma função aritmética multiplicativa qualquer.
então a função aritmética definida por é também multiplicativa, ou seja, dados e inteiros positivos tais que , temos
Demostração: dado com , sabemos que qualquer divisor deste produto é da forma , onde é dividor de e é divisor de , com . Calculando o somatório e destes divisores,
e
e o produto destes dois resultados,
Comoé multiplicativa, temos que . Logo,
e
e o produto destes dois resultados,
..............................................................................
.........................................................................................
Como
..........................................................................
PROBLEMA 1
Com primo, natural e natural , calcular a soma das -ésimas potências dos divisores de .
Resolução: os divisores de são e suas -ésimas potências formam uma com primeiro termo e razão . Portanto,
para , temos
PROBLEMA 2
Calcular a soma dos cubos dos divisores de .
Resolução: o que queremos é com . Ora, é uma função aritmética (totalmente) multiplicativa porque para , . E se ainda pelo teorema 4, temos, caracterizando a multiplicabilidade (restrita) de para . Logo,
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
- Funções Aritméticas - Números Notáveis, de Edgard de Alencar Filho, Editora Nobel,1988
- Teoria dos Números, de Salahoddin Shokranian, Marcus Soares, Hemar Godinho; Editora UNB, 1998.
Cada dia que passa Elementos de Teixeira fica mais iteressante!
ResponderExcluirContinue assim!
ResponderExcluirObrigado, matemático Hunasses! Em breve verei uma teoria sua aqui publicada!
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