terça-feira, 24 de janeiro de 2012

010-Equações e Identidades Algébricas



Eu queria colocar o título como "Método Alternativo para a Demonstração da Fórmula de Bhaskara" mas resolvi escrever um pouco sobre as equações cúbicas.
Vamos trabalhar com coeficientes reais na resolução de todas as equações propostas   ( [;a\neq 0;] ) em [;U = \mathbb{C};].

Seja a equação do 2º grau [;ax^2+bx+c=0;]. Considere também a  identidade

[;[(u-v)+(u+v)]^2=4u^2 \Rightarrow;]

[;(u-v)^2+2(u+v)(u-v)+(u+v)^2-4u^2=0;]

 e compare    com         [;x^2;]   [;+;]       [;\frac{b}{a};]       [;.x;]  [;+;]          [;\fra{c}{a};]        [;=;] [;0;] 

A identidade em [;u;] e [;v;] é válida para quaisquer que sejam estes valores.
Já a equação em [; x;] é válida para valores específicos desta incógnita.
No entanto, fazendo 

[;x=u-v;]        (  1   )

[;2(u+v)=\fra{b}{a};]       (   2   )

[;(u+v)^2-4u^2=\frac{c}{a};]    (  3   )

podemos achar as raízes [; x;] utilizando a identidade e filtrando apenas os valores [;u;] e [;v;] que satisfaçam o sistema acima. E isso não é tão difícil porque de (  2 ) tiramos [;(u+v)=\frac{b}{2a};]  e substituindo em (  3  ), temos:

[; \left(\frac{b}{2a}\right)^2-4u^2=\frac{c}{a}\Rightarrow u= \frac{sqrt {b^2-4ac}}{4a}\Rightarrow u=\frac{sqrt {\bigtriangleup}}{4a};] 

e de[;(u+v)=\frac{b}{2a}\Rightarrow v=\frac{b}{2a}-u\Rightarrow v=\frac{b}{2a}-\frac{sqrt{\bigtriangleup}}{4a}\Rightarrow v=\frac{2b-sqrt{\bigtriangleup}}{4a};]

De forma que , [;x=u-v=\frac{-b\pm sqrt{\bigtriangleup}}{2a};]

A mesma estratégia podemos usar para resolver a equação cúbica incompleta [;ax^3+bx+c=0;] . Agora utilizaremos a identidade

[;[(u-v)+(u+v)]^3=8u^3 \Rightarrow;]

[;(u-v)^3+3(u-v)^2(u+v)+3(u-v)(u+v)^2+(u+v)^3=8u^3\Rightarrow;]

[;(u-v)^3+3(u-v)(u+v)[(u-v)+(u+v)]+(u+v)^3=8u^3\Rightarrow;]

[;(u-v)^3+6u(u+v)(u-v)+(u+v)^3-8u^3=0;]

para montamos o sistema

[;x=u-v;]         (   1  )

[;6u(u+v)=\frac{b}{a};]    (   2  )

[;(u+v)^3-8u^3=\frac{c}{a};]     (   3   )

De (  2  ), temos [;(u+v)=\frac{b}{6au};] e inserindo em (  3  ), [;\left(\frac{b}{6au}\right)^3-8u^3=\frac{c}{a};] e isto nada mais é do que uma equação quadrática em [;u^3;]do qual achamos [;u;] e de ( 2 ) achamos [;v;]. Na sequência, [;x=u-v;], refletindo o método de Cardano ( 1501-1576 ) para resolução de equações cúbicas.



REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

História da Matemática de Carl.B.Boyer, Editora Edgard Blücher, 1994.

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