sábado, 21 de janeiro de 2012

009-Congruências mod 10, mod 4 e Potências

Assombre os seus amigos e calcule, de cabeça, a raiz cúbica de , com .
Para isso, apenas memorize a seguinte tabela numérica. 


Observe que os números da coluna A são os números naturais de  a .
Na coluna B temos os cubos dos números da primeira coluna.
E na coluna consta os últimos dígitos dos números da coluna B.
 Antes de mais nada, o número, cuja raiz cúbica se quer encontrar por este método, tem que ser um cubo perfeito e tem que ter de  à  dígitos ( para satisfazer a condição  ). Portanto, a raiz cúbica achada tem sempre  dígitos.

Primeiro exemplo. Qual a raiz cúbica de ?

Passo 1: Separa-se o número de três em três dígitos da direita para a esquerda ..
Passo2: Enquadra-se a primeira parte desta separação, que é , entre os números da coluna do B.   Assim, verifique que está entre  e .          
Passo3: Pegue o menor número do enquadramento () e verifique a sua correspondência com a coluna  A. Portanto, encontramos o  , o primeiro dígito da raiz cúbica procurada.
Passo 4: Pegue o último dígito de , que é . Localize-o (  ) na coluna e verifique sua correspondência com a coluna esquerda. Veja, então, que  na coluna C corresponde com  na coluna A. Assim,  é o segundo dígito da raiz cúbica procurada.

Resposta  a raiz cúbica de  é .


Segundo exemplo. Qual a raiz cúbica de ?

Passo1 ..
Passo2: Na coluna do B está entre  e .
Passo3: O menor número do enquadramento (  ) corresponde a  na coluna A. Portanto  é o primeiro dígito procurado.
Passo4: O último dígito de  é . Sua localização (  ) na coluna C corresponde à  na coluna A. Portanto,  é o segundo dígito procurado.

Resposta  a raiz cúbica de  é .

Porque este processo funciona? A resposta está nas RELAÇÕES DE CONGRUÊNCIA.

O conceito e a notação de congruência (  ) inventada pelo grande matemático alemão Carl Friedrich Gauss   são explanados a seguir.


Dados   e :

Diz-se que  é congruente a  módulo  [ anota-se ] quando  e , divididos por , deixam o mesmo resto .

Se deixam o mesmo resto , então  e  e a diferença  fornece uma nova interpretação:

 quando   divide .


Exemplos:  ,  e 

Quando  não é congruente à , módulo , utilizamos  .

 Lema 1 : Se  é divisor de , então podemos fazer , porque  divide .
 Lema 2: Se  é o resto de  então  porque  e   divide .
  Lema 3: Se , então , porque  divide .

A relação de congruência   possui a maioria das propriedades ( ver art 048 ) da relação de igualdade :

I) 
II) Se , então 
III) Se  e  então 

Dados , nas operações de adição e multiplicação, temos:

IV) 
V) Se  e , então
VI) Se  e , então
VII) Se  então   para todo  . No entanto, a recíproca não é de toda verdadeira: a propriedade do cancelamento vale apenas se .

A Progressão Aritmética ( PA )  : é um exemplo de congruência.

, sendo  o primeiro termo e  a razão.

Como sabemos, a diferença de seus termos



fornece sempre a razão  e, portanto, todos os pares  são divisíveis pela mesma. Assim,


 E pela propriedade III) conclui-se que, quaisquer que sejam  e  , teremos .

Se a PA tem o primeiro termo  e razão  , então os últimos dígitos de todos os seus termos são iguais ao último dígito de . Por exemplo, se  e  teremos a sucessão com os últimos dígitos de cada termo iguais ao último dígito do primeiro termo  . Assim,



 Isto ocorre devido a própria particularidade dos números escritos na base decimal que sempre tem o formato  , com .

Ou seja, se  então  e  possuem os mesmos últimos dígitos.


 Existe uma relação interessante entre a PA de razão  ( números congruentes módulo  ), a  PA de razão  ( números congruentes módulo  ) e as potências.

Por exemplo, a sequência potencial definida por  tem a particularidade que, a partir de  , os últimos dígitos dos seus termos se repetem periodicamente em  números, nesta ordem, . O que, na linguagem de congruência:

Se  então , para  e  .

 Na verdade, a sucessão  é válida para  quando .
E,  ao todo, temos  classes de sucessões de últimos dígitos para a sequência potencial relativos à  grupos de expoentes .:

Classe 1: para     
Classe 2: para 
Classe 3: para 
Classe 4: para 

Para identificar a classe de  divide-se o expoente  por  e se o resto for  ou  então a classe a qual pertence esta potência é classe , classe , classe  ou classe , respectivamente.

Dentro de uma mesma classe, todos os expoentes são congruentes módulo  e podemos escrever o TEOREMA GERAL:

Se  e , então 

Justificativa: Em relação aos últimos dígitos de  e 
 a sequência exponencial  possui um padrão periódico horizontal conforme a seguir:


                      

 
 

De forma que, se na horizontal temos os padrões , na vertical são formadas as  classes de .

Problema: Qual o último dígito de ? . Resolução: dividindo por  , encontramos o resto , logo, pelo lema 2 o que indica que esta potência pertence à classe . Como , então  e, pelos elementos da classe , vimos que .

Resumo: De   e   .

Resposta: o último dígito de  é .


Observação: Como podem ver pelos grupos de expoentes  e pelas classes C de sucessão dos últimos dígitos de  é também fácil calcular, de memória, as raízes quínticas de números   e raízes sétimas de números , com um método semelhante ao descrito no início desta postagem, bastando para isso, fazer um ajuste na tabela.


Fonte ( congruências ):

Teoria dos Números, de
Salahoddin Shokranian,
Marcus Soares,
Hemar Godinho;
Editora UNB, 1998.

9 comentários:

  1. Excelente post! Ele pode ser uma das respostas a pergunta: Para que servem as congruências modulares? Parabéns por compartilhar este assunto conosco.

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  2. Algum tempo atrás tive a ilusão de demonstrar o Último Teorema de Fermat com esta teoria ( rs ). Obrigado e seja sempre bem-vindo!

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  3. Ou melhor, a ilusão de querer demonstrar....

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  4. Gostei do post. Eu não conhecia muita coisa sobre congruências modulares. Aqui deu para entender bastante coisa de forma simples.
    Um abraço.

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  5. Kleber, a congruência está bastante presente em nossas vidas e é um atalho para provar muitos teoremas ligados a Teoria dos Números. Este assunto que abordei fica interessante de mudarmos a base numérica. Surgirão outras classes e o TEOREMA GERAL se "deformará", mas na essência, permanecerá o mesmo. Valeu!

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  6. Olá Aloísio. As congruências são bem interessantes. Curiosamente eu estava preparando uma postagem sobre este tema. Mas eu ia mostrar como utilizá-las para demonstrar alguns critérios de divisibilidade.
    Abraço.
    Pedro R.

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  7. Pedro R., eu acho que os internautas estão precisando de uma matéria de qualidade sobre critérios de divisibilidade. Principalmente para os números primos. Obrigado pela visita!

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  8. Olá, Aloísio!!!!

    Achei superinteressante o seu post e como é o primeiro da listagem desse carnaval, é o que me dedico a ler e comentar! Rapaz, que coisa boa isso aqui!!! Lembrei dos tempos da universidade quando estudava álgebra!!
    Logo no início do post, pensei que aquilo era (e não deixa de ser) uma matemágica para se responder de cabeça o valor da raiz cúbica de um número de até cinco dígitos e que seja um cubo perfeito!!!
    Relembrando essas clsses, me disparou um pensamento que a classe de módulo 4, poderá ser usada para se tentar prever a sua saída (probabilidade) por ocasião de um próximo sorteio, tipo... a mega sena!!! Mas, não vou tentar me debruçar sobre isso agora, o importante é que a matéria do seu artigo me indicou isso!!
    Então, meus parabéns pelo artigo, pela presença no evento e pela continuação das postagens no blog Elementos de Teixeira!!!!

    Um abraço!!!!!

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    1. Oi, Valdir!

      Obrigado pelo incentivo!

      Ainda não vizualizei este emprego das classes módulo 4 conforme mencionou. Mas fico contente quando um artigo meu fornece uma luz sobre um novo assunto.

      Um grande abraço!

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