ELEMENTOS: 008-Logaritmo de número negativo?

quarta-feira, 18 de janeiro de 2012

008-Logaritmo de número negativo?

O gráfico de uma função logaritma qualquer, seja ela crescente ou decrescente, é totalmente à direita do eixo $Oy$ .

Portanto, parece não ter sentido falar em logaritmos de números negativos.

Desta forma, é conveniente dizer que, por exemplo, $ln(x)$ é válido para $x>0$ .

Mas, no século $XVIII$ , os matemáticos gostavam de quebrar a cabeça com o seguinte paradoxo:

$log(-x)^2=log(+x)^2 \Rightarrow$

$2log(-x) = 2log(+x) \Rightarrow$

$log(-x)=log(x)$

Sendo, $log(x)$ representando o logaritmo de $x$ em uma base real positiva $\neq 1$ .

Coube a Leonhard Euler $(1707-1783)$ , o mais prolífero e criativo dos matemáticos, a palavra final sobre o assunto. Se $x>0$ , ele sabia que

$log(-x)^2=2log|-x|=2log(+x) \neq 2log(-x)\Rightarrow log(+x) \neq log(-x)$

e procurou fornecer um significado que seja válido para $log(-x)$ .

A representação da função definida por $y=e^x$ por um polinômio de grau infinito ( série infinita ) foi crucial neste assunto. Desde a sistematização do Cálculo por Isaac Newton $(1642-1727)$ e Gottfried_Leibniz $(1646-1716)$ sabia-se que $\frac{d e^x}{dx}=e^x$ , ou seja a derivada de $y=e^x$ é a própria $y=e^x$ .

Se $y=e^x$ puder ser representada por um polinômio de grau infinito, podemos fazer

$y=e^x=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...$

$\frac{d e^x}{dx}= e^x= a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3+...$

Igualando os coeficientes, temos

$a_1=a_0$ , $2a_2=a_1$ , $3a_3=a_2$ , $4a_4=a_3$ ,...,

E todos os $a_i$ podem ser dados em função de $a_0$ da seguinte forma:

$a_1=a_0$

$a_2=\frac{a_1}{2}=\frac{a_0}{2}$

$a_3=\frac{a_2}{3}=\frac{a_0}{2}.\frac{1}{3}=\frac{a_0}{3!}$

$a_4=\frac{a_3}{4}=\frac{a_3}{3!}.\frac{1}{4}=\frac{a_0}{4!}$

...etc

Logo,

$y=e^x = a_0(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+..$ já que para $x=0 \rightarrow a_0=1$ .

Usando recursos infinitesimais, podemos provar não só a série para $y=e^x$ como também as seguintes séries trigonométricas:

$sen(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$ e $cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...$

Com a mente não embotada pelos grilhões do rigor, Euler foi ousado em usar uma variável complexa nas séries geradas por $e^x$ , $sen \left(x \right)$ e $cos(x)$ e conseguiu excepcionais resultados com as seguintes manipulações:

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...$ $\rightarrow$ $e^{ix}=1+(ix)+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+...$

$e^{-x}=1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}-...$ $\rightarrow$ $e^{-ix}=1-(ix)+\frac{(ix)^2}{2!}-\frac{(ix)^3}{3!}+...$

$e^{ix}+e^{-ix}=2 \left [1+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^4}{4!}+\frac{(ix)^6}{6}+...\right]=2 \left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+... \right)$

$\Rightarrow e^{ix}+e^{-ix}=2cos(x)$

$e^{ix}-e^{-ix}=2 \left [(ix)+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(ix)^5}{5!}+\frac{(ix)^7}{7!}+...\right]=2 \left (ix-i\frac{x^3}{3!}+i\frac{x^5}{5!}-i\frac{x^7}{7!}+...\right)$

$\Rightarrow e^{ix}-e^{-ix}=2isen(x)$

e as expressões resultantes $cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$ e $isen \left(x \right)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2}$ são conhecidas como IDENTIDADES DE EULER.

Somando as duas identidades, $cos(x)+isen \left( x \right)=2.\frac{e^{ix}}{2}=e^{ix}$ , obtemos uma das relações mais importantes da matemática ( FÓRMULA DE EULER ).

Em $cos(x)+isen \left(x \right)=e^{ix}$ , $x$ é um número real que representa um ângulo em radianos. Portanto $x= \theta \pm 2 \pi k$ , com $0\leq \theta < 2\pi$ e $k=1,2,3,...$ .

Para $x= \pi$ , temos $cos(\pi)+sen \left(\pi \right)=e^{i \pi}=-1+0i \Rightarrow e^{i \pi}=-1$

E em relação ao logaritmo de um número negativo, nesta última expressão está o cerne da questão.

Além de produzir o belíssimo resultado $e^{i \pi}+1=0$ ( onde estão unificados os números mais importantes da matemática $0$ , $1$ , $\pi$ , $e$ e $i=\sqr{-1}$ ), essa exótica identidade nos diz ainda que

$ln(-1)=i \pi$

Assim, Euler soluciona o mistério.O logaritmo de um número negativo não é real, mais sim, um número complexo:

Com $x>0$ , $ln(-x)=ln[x.(-1)]=ln(x)+ln(-1)=ln(x)+i \pi$

$log_a (-x)=\frac{ln(-x)}{ln(a)}=\frac{ln(x)}{ln(a)}+\frac {\pi}{ln(a)}.i$

APÊNDICE

1) Surgindo como mais uma pérola, a FÓRMULA DE EULER mostra que um número complexo elevado a um número complexo ( $z_1^{z_2}$ ) pode ser um número real! Na relação $cos(x)+isen \left(x \right)=e^{ix}$ , fazendo $x= \frac{ \pi}{2}$ , temos $cos (\pi /2)+isen ( \pi/2)=0+1.i \Rightarrow i=e^{i.\pi/2}$ . Elevando ambos os membros à $i$ :

$i^i=e^{(i.\pi/2).i }$ $\Rightarrow i^i=e^{- \pi/2}$ .

2) Mas, precisamente, existem infinitos valores complexos/reais, respectivamente, para $ln(-x)$ e $i^i$ devido a periodicidade das funções trigonométricas envolvidas em função de $\theta+2 \pi.k$ .

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA.

- Matemática para Economistas, de Taro Yamane, Editora Atlas, 1989.
- Cálculo com Geometria Analítica - Volume 2, de George F.Simmons, Editora McGraw-Hill,1988.
- Introdução a História da Matemática, de Howard Eves, Editora Unicamp, 1997.

9 comentários:

Prof. Paulo Sérgio19 de janeiro de 2012 às 08:56
Interessante o modo como podemos obter as séries infinitas das funções através das equações diferenciais e esta identidade de Euler, realmente é uma das mais belas da matemática. Veja este post http://fatosmatematicos.blogspot.com/2010/02/alguns-matematicos-com-suas-formulas.html

Obs. Acrescentei também um link para o seu blog no Fatos Matemáticos, iniciando assim uma parceria link.
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Aloisio Teixeira19 de janeiro de 2012 às 09:34
Vc tem algum link das séries por ED? A capacidade de Euler de criar era impressionante, conseguindo resultados que fugiam de seus conteporâneos. Fico muito satisfeito com a parceria com FATOS MATEMATICOS. Valeu!
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Prof. Paulo Sérgio19 de janeiro de 2012 às 13:05
Tenho alguns assuntos. Digite na caixa de pesquisa: a matemática de Euler, funções de bessel, binomio de newton e edo que você irá encontrar como deduzir o binomio de Newton através de EDO.
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Kleber Kilhian19 de janeiro de 2012 às 23:32
Olá Aloísio, muito boa postagem. Podemos ver muitas coisas: a explicação do logaritmo negativo; a identidade de Euler; mostra, como o Paulo disse, as séries infinitas. O melhor de tudo é perceber a capacidade de resolver problemas que o grande matemático Euler tinha, pondo um ponto final na história.

Eu tinha feito um post com certa afinidade a este seu. Vou aproveitar e inserir o link:

http://obaricentrodamente.blogspot.com/2010/07/demonstracao-da-identidade-de-euler.html

Um abraço.
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Aloisio Teixeira20 de janeiro de 2012 às 06:36
Muita interessante sua postagem sobre a identidade de Euler. Realmente existem muitas versões sobre as peripécias de Euler e cada divulgador matemático nos enriquece com a sua em particular. Fico honrado em fazer parceria com O BARICENTRO DA MENTE,que pra mim é TOP 10 e tem uma imensa experiência. Obrigado, amigo Kleber.
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BLOG MANTHANO22 de janeiro de 2012 às 12:09
É impressionante como Euler de certo modo estava "acima" de seus contemporâneos, incluindo gente como Leibniz e Jean Bernoulli (que tinham pontos de vista diferentes sobre os lagaritmos - ma daí vem a genialidade de Euler ao fazer esta definição de logaritmo de número negativo e concilia as ideias dos dois). Um texto interessante sobre este tema está em "meu professor de matemática e outras histórias" de Elon Lages Lima.
Pedro R.
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Aloisio Teixeira22 de janeiro de 2012 às 13:58
Pedro, R, a capacidade de Euler de resolver problemas traduzia a síntese da sua genialidade, da sua capacidade para o trabalho e de seu imenso amor pela matemática. Tenho certeza que, mesmo longe da lousa e do estúdio ele fazia muitas elucubrações mentais e montava a estratégia de resolução de inúmeros problemas. Valeu a indicação do livro de Elon Lages Lima, vou tentar adquirí-lo.
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Francisco Valdir17 de junho de 2012 às 12:26
Olá, Aloísio!!!!
Belíssima e interessante postagem que você trás para esse carnaval!!!! Parabéns!!!!
O Euler, ficou completamente cego, aos 59 anos, mas, se já se mostrava ser um gênio matemático antes desse fato, continuou a desenvolver mais genialidade, via as soluções mais do que todo mundo, pois a sua mente eram os seus olhos e então, nessa sua segunda parte existencial, foi capaz de produzir essas "pérolas" do cálculo como essas que você informa aqui na postagem nota mil!!!!
Um abraço!!!!!
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Aloisio Teixeira17 de junho de 2012 às 19:34
Oi, Valdir!

Euler tinha muita capacidade de trabalho. Foi o "Thomas Edison" da matemática! Acredito que ele tinha memória fotográfica...

Euler foi um explorador da selva matemática e corajosamente descobria novos caminhos enquanto registrava o achado em seus milhares de registros (mapas ).

Valeu, amigo!
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008-Logaritmo de número negativo?

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