Para isso, apenas memorize a seguinte tabela numérica.
Observe que os números da coluna A são os números naturais de a .
Na coluna B temos os cubos dos números da primeira coluna.
E na coluna C consta os últimos dígitos dos números da coluna B.
Antes de mais nada, o número, cuja raiz cúbica se quer encontrar por este método, tem que ser um cubo perfeito e tem que ter de à dígitos ( para satisfazer a condição ). Portanto, a raiz cúbica achada tem sempre dígitos.
Primeiro exemplo. Qual a raiz cúbica de ?
Passo 1: Separa-se o número de três em três dígitos da direita para a esquerda : ..
Passo2: Enquadra-se a primeira parte desta separação, que é , entre os números da coluna do B. Assim, verifique que está entre e .
Passo3: Pegue o menor número do enquadramento () e verifique a sua correspondência com a coluna A. Portanto, encontramos o , o primeiro dígito da raiz cúbica procurada.
Passo 4: Pegue o último dígito de , que é . Localize-o ( ) na coluna C e verifique sua correspondência com a coluna esquerda. Veja, então, que na coluna C corresponde com na coluna A. Assim, é o segundo dígito da raiz cúbica procurada.
Resposta a raiz cúbica de é .
Segundo exemplo. Qual a raiz cúbica de ?
Passo1: ..
Passo2: Na coluna do B, está entre e .
Passo3: O menor número do enquadramento ( ) corresponde a na coluna A. Portanto é o primeiro dígito procurado.
Passo4: O último dígito de é . Sua localização ( ) na coluna C corresponde à na coluna A. Portanto, é o segundo dígito procurado.
Resposta a raiz cúbica de é .
Porque este processo funciona? A resposta está nas RELAÇÕES DE CONGRUÊNCIA.
O conceito e a notação de congruência ( ) inventada pelo grande matemático alemão Carl Friedrich Gauss são explanados a seguir.
Dados , e :
Diz-se que é congruente a módulo [ anota-se ] quando e , divididos por , deixam o mesmo resto .
Se deixam o mesmo resto , então e e a diferença fornece uma nova interpretação:
Exemplos: , e
Quando não é congruente à , módulo , utilizamos .
Lema 1 : Se é divisor de , então podemos fazer , porque divide .
Lema 2: Se é o resto de então porque e divide .
Lema 3: Se , então , porque divide .
A relação de congruência possui a maioria das propriedades ( ver art 048 ) da relação de igualdade :
I)
II) Se , então
III) Se e então
Dados , nas operações de adição e multiplicação, temos:
IV)
V) Se e , então
VI) Se e , então
VII) Se então para todo . No entanto, a recíproca não é de toda verdadeira: a propriedade do cancelamento vale apenas se .
A Progressão Aritmética ( PA ) : é um exemplo de congruência.
Como sabemos, a diferença de seus termos
fornece sempre a razão e, portanto, todos os pares são divisíveis pela mesma. Assim,
E pela propriedade III) conclui-se que, quaisquer que sejam e , teremos .
Se a PA tem o primeiro termo e razão , então os últimos dígitos de todos os seus termos são iguais ao último dígito de . Por exemplo, se e teremos a sucessão com os últimos dígitos de cada termo iguais ao último dígito do primeiro termo . Assim,
Isto ocorre devido a própria particularidade dos números escritos na base decimal que sempre tem o formato , com .
Ou seja, se então e possuem os mesmos últimos dígitos.
Existe uma relação interessante entre a PA de razão ( números congruentes módulo ), a PA de razão ( números congruentes módulo ) e as potências.
Por exemplo, a sequência potencial definida por tem a particularidade que, a partir de , os últimos dígitos dos seus termos se repetem periodicamente em números, nesta ordem, . O que, na linguagem de congruência:
Na verdade, a sucessão é válida para quando .
E, ao todo, temos classes de sucessões de últimos dígitos para a sequência potencial relativos à grupos de expoentes .:
Classe 1: para
Classe 2: para
Classe 3: para
Classe 4: para
Para identificar a classe de divide-se o expoente por e se o resto for ou então a classe a qual pertence esta potência é classe , classe , classe ou classe , respectivamente.
Dentro de uma mesma classe, todos os expoentes são congruentes módulo e podemos escrever o TEOREMA GERAL:
Se e , então
Justificativa: Em relação aos últimos dígitos de e
a sequência exponencial possui um padrão periódico horizontal conforme a seguir:
Passo1: ..
Passo2: Na coluna do B, está entre e .
Passo3: O menor número do enquadramento ( ) corresponde a na coluna A. Portanto é o primeiro dígito procurado.
Passo4: O último dígito de é . Sua localização ( ) na coluna C corresponde à na coluna A. Portanto, é o segundo dígito procurado.
Resposta a raiz cúbica de é .
Porque este processo funciona? A resposta está nas RELAÇÕES DE CONGRUÊNCIA.
O conceito e a notação de congruência ( ) inventada pelo grande matemático alemão Carl Friedrich Gauss são explanados a seguir.
Dados , e :
Diz-se que é congruente a módulo [ anota-se ] quando e , divididos por , deixam o mesmo resto .
Se deixam o mesmo resto , então e e a diferença fornece uma nova interpretação:
Exemplos: , e
Quando não é congruente à , módulo , utilizamos .
Lema 1 : Se é divisor de , então podemos fazer , porque divide .
Lema 2: Se é o resto de então porque e divide .
Lema 3: Se , então , porque divide .
A relação de congruência possui a maioria das propriedades ( ver art 048 ) da relação de igualdade :
I)
II) Se , então
III) Se e então
Dados , nas operações de adição e multiplicação, temos:
IV)
V) Se e , então
VI) Se e , então
VII) Se então para todo . No entanto, a recíproca não é de toda verdadeira: a propriedade do cancelamento vale apenas se .
A Progressão Aritmética ( PA ) : é um exemplo de congruência.
, sendo o primeiro termo e a razão.
fornece sempre a razão e, portanto, todos os pares são divisíveis pela mesma. Assim,
Se a PA tem o primeiro termo e razão , então os últimos dígitos de todos os seus termos são iguais ao último dígito de . Por exemplo, se e teremos a sucessão com os últimos dígitos de cada termo iguais ao último dígito do primeiro termo . Assim,
Isto ocorre devido a própria particularidade dos números escritos na base decimal que sempre tem o formato , com .
Ou seja, se então e possuem os mesmos últimos dígitos.
Existe uma relação interessante entre a PA de razão ( números congruentes módulo ), a PA de razão ( números congruentes módulo ) e as potências.
Por exemplo, a sequência potencial definida por tem a particularidade que, a partir de , os últimos dígitos dos seus termos se repetem periodicamente em números, nesta ordem, . O que, na linguagem de congruência:
Se então , para e .
E, ao todo, temos classes de sucessões de últimos dígitos para a sequência potencial relativos à grupos de expoentes .:
Classe 1: para
Classe 2: para
Classe 3: para
Classe 4: para
Para identificar a classe de divide-se o expoente por e se o resto for ou então a classe a qual pertence esta potência é classe , classe , classe ou classe , respectivamente.
Dentro de uma mesma classe, todos os expoentes são congruentes módulo e podemos escrever o TEOREMA GERAL:
Se e , então
Justificativa: Em relação aos últimos dígitos de e
De forma que, se na horizontal temos os padrões , na vertical são formadas as classes de .
Problema: Qual o último dígito de ? . Resolução: dividindo por , encontramos o resto , logo, pelo lema 2, o que indica que esta potência pertence à classe : . Como , então e, pelos elementos da classe , vimos que .
Resumo: De , e .
Resposta: o último dígito de é .
Resumo: De , e .
Resposta: o último dígito de é .
Observação: Como podem ver pelos grupos de expoentes e pelas classes C de sucessão dos últimos dígitos de é também fácil calcular, de memória, as raízes quínticas de números e raízes sétimas de números , com um método semelhante ao descrito no início desta postagem, bastando para isso, fazer um ajuste na tabela.
Fonte ( congruências ):
Teoria dos Números, de
Salahoddin Shokranian,
Marcus Soares,
Hemar Godinho;
Editora UNB, 1998.
Fonte ( congruências ):
Teoria dos Números, de
Salahoddin Shokranian,
Marcus Soares,
Hemar Godinho;
Editora UNB, 1998.
Excelente post! Ele pode ser uma das respostas a pergunta: Para que servem as congruências modulares? Parabéns por compartilhar este assunto conosco.
ResponderExcluirAlgum tempo atrás tive a ilusão de demonstrar o Último Teorema de Fermat com esta teoria ( rs ). Obrigado e seja sempre bem-vindo!
ResponderExcluirOu melhor, a ilusão de querer demonstrar....
ResponderExcluirGostei do post. Eu não conhecia muita coisa sobre congruências modulares. Aqui deu para entender bastante coisa de forma simples.
ResponderExcluirUm abraço.
Kleber, a congruência está bastante presente em nossas vidas e é um atalho para provar muitos teoremas ligados a Teoria dos Números. Este assunto que abordei fica interessante de mudarmos a base numérica. Surgirão outras classes e o TEOREMA GERAL se "deformará", mas na essência, permanecerá o mesmo. Valeu!
ResponderExcluirOlá Aloísio. As congruências são bem interessantes. Curiosamente eu estava preparando uma postagem sobre este tema. Mas eu ia mostrar como utilizá-las para demonstrar alguns critérios de divisibilidade.
ResponderExcluirAbraço.
Pedro R.
Pedro R., eu acho que os internautas estão precisando de uma matéria de qualidade sobre critérios de divisibilidade. Principalmente para os números primos. Obrigado pela visita!
ResponderExcluirOlá, Aloísio!!!!
ResponderExcluirAchei superinteressante o seu post e como é o primeiro da listagem desse carnaval, é o que me dedico a ler e comentar! Rapaz, que coisa boa isso aqui!!! Lembrei dos tempos da universidade quando estudava álgebra!!
Logo no início do post, pensei que aquilo era (e não deixa de ser) uma matemágica para se responder de cabeça o valor da raiz cúbica de um número de até cinco dígitos e que seja um cubo perfeito!!!
Relembrando essas clsses, me disparou um pensamento que a classe de módulo 4, poderá ser usada para se tentar prever a sua saída (probabilidade) por ocasião de um próximo sorteio, tipo... a mega sena!!! Mas, não vou tentar me debruçar sobre isso agora, o importante é que a matéria do seu artigo me indicou isso!!
Então, meus parabéns pelo artigo, pela presença no evento e pela continuação das postagens no blog Elementos de Teixeira!!!!
Um abraço!!!!!
Oi, Valdir!
ExcluirObrigado pelo incentivo!
Ainda não vizualizei este emprego das classes módulo 4 conforme mencionou. Mas fico contente quando um artigo meu fornece uma luz sobre um novo assunto.
Um grande abraço!