quarta-feira, 11 de março de 2015

125 - Plano e Transformada WY

Considere o plano cartesiano a seguir. Nele locaremos pontos de coordenadas e . No eixo horizontal estão as abcissas reais e e no eixo vertical encontramos as ordenadas reais e .


O ponto depende do ponto por intermédio da seguinte construção geométrica.

No retângulo de vértices , , e ( retângulo das coordenadas do ponto ) , traçamos a diagonal de extremidades e . Em seguida, traçamos o segmento , que sai da origem e é perpendicular à .

O ponto é o ponto de perpendicularismo ou intersecção entre e .

Tal plano cartesiano de coordenadas duplas e dependentes, conforme descrito, chamarei de plano WY.

Transformada WY da equação é a equação que esboça o lugar geométrico de todos os pontos relacionados com os pontos , conforme o plano WY.

Para calcular a equação transformada a partir da equação primitiva , é necessário relacionar as coordenadas do ponto com as coordenadas do ponto .

Tendo em vista que o triângulo retângulo é semelhante aos triângulos retângulos e , temos as seguintes proporções.



 


As igualdades e são as identidades de transformação WY.

A seguir veremos exemplos de transformadas WY de equações da forma que definem funções, o que não se pode dizer sempre o mesmo das respectivas transformadas , pois as mesmas normalmente são em forma implícita e nem sempre representam funções.

No plano WY, colocarei a curva da equação primitiva na cor vermelha e a curva da equação transformada  na cor azul.



Transformada de  ( função afim, , com )

Usando as identidades de transformação e em , obtemos

 

 

ou seja, uma reta com coeficiente inverso de  


Logo, se , temos e . Neste caso, como essas curvas são em um mesmo sistema de coordenadas cartesianas, ficamos com duas retas coincidentes de coeficientes .  

Transformada de  ( função constante, e )

 Substituindo na equação , temos


 

 


 Assim, a transformada WY da equação é a equação de um círculo de centro e raio .



Transformada de  , com coeficientes reais e não nulos


 

 

 

 

 

 

A curva que representa esta equação é um "folio" ( folha) ou laço.



A curva fechada do laço se encontra no segundo quadrante se e , no terceiro quadrante se e , no quarto quadrante se e ; e no primeiro quadrante se e .

Se ou , o gráfico do folio é simétrico a reta de equação ou , respectivamente. Interessante que, caso , o folio é assimétrico a reta de equação .

Existem cinco entes geométricos notáveis no qual surgem cinco perguntas. Qual o valor de máximo local? Qual o valor de máximo local? Qual o valor de máximo local?  Qual a equação da assíntota? Qual o ponto comum ?

A curva em azul é parecida com o folio de Descartes de equação , cujo laço se encontra no primeiro quadrante.




Transformada de

 

 

 

 

A curva resultante caracteriza todas as transformadas de equações do tipo com e par, diferindo apenas no grau de abertura das curvas. Caso seja ímpar, os ramos esquerdos   vermelho e azul das curvas se apresentariam no terceiro quadrante, com as respectivas concavidades invertidas.





Transformada de 








A curva é uma lemniscata  inclinada nos quadrantes primeiro e terceiro.   Lembrando que a lemniscata de Bernoulli, de equação , é simétrica em relação ao eixo e .







Transformada de 









Uma curva "borboleta"





Transformada de 


Se a equação primitiva é de um círculo, a transformada gera uma rosácea de quatro pétalas.