ELEMENTOS: 125 - Plano e Transformada WY

Considere o plano cartesiano a seguir. Nele locaremos pontos de coordenadas $(u,w)$ e $(x,y)$ . No eixo horizontal estão as abcissas reais $u$ e $x$ e no eixo vertical encontramos as ordenadas reais $w$ e $y$ .

O ponto $(x,y)$ depende do ponto $(u,w)$ por intermédio da seguinte construção geométrica.

No retângulo de vértices $O(0,0)$ , $C(0,w)$ , $A(u,w)$ e $B(u,0)$ ( retângulo das coordenadas do ponto $A(u,w)$ ) , traçamos a diagonal de extremidades $C(0,w)$ e $B(u,0)$ . Em seguida, traçamos o segmento $OP$ , que sai da origem $O(0,0)$ e é perpendicular à $BC$ .

O ponto $P(x,y)$ é o ponto de perpendicularismo ou intersecção entre $OP$ e $BC$ .

Tal plano cartesiano de coordenadas duplas e dependentes, conforme descrito, chamarei de plano WY.

Transformada WY da equação $g(u,w)=0$ é a equação $h(x,y)=0$ que esboça o lugar geométrico de todos os pontos $(x,y)$ relacionados com os pontos $(u,w)$ , conforme o plano WY.

Para calcular a equação transformada $h(x,y)=0$ a partir da equação primitiva $g(u,w)=0$ , é necessário relacionar as coordenadas do ponto $(u,w)$ com as coordenadas do ponto $(x,y)$ .

Tendo em vista que o triângulo retângulo $OPL$ é semelhante aos triângulos retângulos $OPB$ e $OPC$ , temos as seguintes proporções.

$cos \ \theta=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{u}\Rightarrow u=\frac{x^2+y^2}{x}$

$sen\ \theta=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{w}\Rightarrow w=\frac{x^2+y^2}{y}$

As igualdades $u=\frac{x^2+y^2}{x}$ e $w=\frac{x^2+y^2}{y}$ são as identidades de transformação WY.

A seguir veremos exemplos de transformadas WY de equações da forma $w=g(u)$ que definem funções, o que não se pode dizer sempre o mesmo das respectivas transformadas $h(x,y)=0$ , pois as mesmas normalmente são em forma implícita e nem sempre representam funções.

No plano WY, colocarei a curva da equação primitiva $w=g(u)$ na cor vermelha e a curva da equação transformada $h(x,y)=0$ na cor azul.

Transformada de $w=au$ ( função afim, $a \in \mathbb{R}$ , com $a \neq 0$ )

Usando as identidades de transformação $w=\frac{x^2+y^2}{y}$ e $u=\frac{x^2+y^2}{x}$ em $w=a.u$ , obtemos

$\frac{x^2+y^2}{y}=a.\left ( \frac{x^2+y^2}{x} \right )\Rightarrow$

$y=\frac{x}{a}$

ou seja, uma reta com coeficiente inverso de $w=au$

Logo, se $a=1$ , temos $w=u$ e $y=x$ . Neste caso, como essas curvas são em um mesmo sistema de coordenadas cartesianas, ficamos com duas retas coincidentes de coeficientes $a=1$ .

Transformada de $w=k$ ( função constante, $k \in \mathbb{R}$ e $k \neq 0$ )

Substituindo $w=\frac{x^2+y^2}{y}$ na equação $w=k$ , temos

$\frac{x^2+y^2}{y}=k$

$x^2+y^2-ky=0$

$x^2+y^2-\frac{2ky}{2}+\left ( \frac{k}{2} \right )^2=\left ( \frac{k}{2} \right )^2$

$x^2+\left ( y-\frac{k}{2} \right )^2=\left ( \frac{k}{2} \right )^2$

Assim, a transformada WY da equação $w=k$ é a equação de um círculo de centro $\left ( 0,\frac{k}{2} \right )$ e raio $r=k/2$ .

Transformada de $w=au+b$ , com coeficientes reais e não nulos

$w=au+b$

$\frac{x^2+y^2}{y}=a.\left ( \frac{x^2+y^2}{x} \right )+b$

$\frac{x^2+y^2}{y}=\frac{a(x^2+y^2)+bx}{x}$

$x(x^2+y^2)=ay(x^2+y^2)+bxy$

$x(x^2+y^2)-ay(x^2+y^2)=bxy$

$(x^2+y^2)(x-ay)=bxy$

A curva que representa esta equação é um "folio" ( folha) ou laço.

A curva fechada do laço se encontra no segundo quadrante se $a>0$ e $b>0$ , no terceiro quadrante se $a<0$ e $b<0$ , no quarto quadrante se $a>0$ e $b<0$ ; e no primeiro quadrante se $a<0$ e $b>0$ .

Se $a=-1$ ou $a=1$ , o gráfico do folio é simétrico a reta de equação $y=x$ ou $y=-x$ , respectivamente. Interessante que, caso $a \neq \pm 1$ , o folio é assimétrico a reta de equação $y=\pm ax$ .

Existem cinco entes geométricos notáveis no qual surgem cinco perguntas. Qual o valor de $|x|$ máximo local? Qual o valor de $|y|$ máximo local? Qual o valor de $\sqrt{x^2+y^2}$ máximo local? Qual a equação da assíntota? Qual o ponto comum $(w,u)=(x,y)$ ?

A curva em azul é parecida com o folio de Descartes de equação $x^3+y^3=3axy$ , cujo laço se encontra no primeiro quadrante.

Transformada de $w=u^2$

$w=u^2$

$\frac{x^2+y^2}{y}=\left ( \frac{x^2+y^2}{x} \right )^2$

$\frac{1}{y}=\frac{x^2+y^2}{x^2}$

$y(x^2+y^2)=x^2$

A curva resultante caracteriza todas as transformadas de equações do tipo $w=au^n$ com $a \neq 0$ e $n$ par, diferindo apenas no grau de abertura das curvas. Caso $n$ seja ímpar, os ramos esquerdos vermelho e azul das curvas se apresentariam no terceiro quadrante, com as respectivas concavidades invertidas.

Transformada de $w=\frac{1}{u}$

$w=\frac{1}{u}$

$\frac{x^2+y^2}{y}=\frac{x}{x^2+y^2}$

$(x^2+y^2)^2=xy$

A curva é uma lemniscata inclinada nos quadrantes primeiro e terceiro. Lembrando que a lemniscata de Bernoulli, de equação $(x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2)$ , é simétrica em relação ao eixo $Oy$ e $Ox$ .