Chamo de o enésimo número livre de
ao enésimo inteiro positivo não-múltiplo de
. Simbolizo por
.
A sequência dos números ímpares
consiste nos números livres de
. Seu termo geral é
.
A sequência
representa os números livres de
. Qual a fórmula do termo genérico de
?
Na sucessão
temos os números livres de
. Como podemos calcular
?
Qual a fórmula do termo geral
dos números livres de ![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](http://latex.codecogs.com/gif.latex?d%3F)
Para responder a estas perguntas, precisamos conhecer ou lembrar da função colchete, onde, dado
, a mesma é definida como
= parte inteira de
, se
. No caso de
, temos
. Só usaremos a primeira opção pois trabalharemos apenas com sucessão de números positivos. No entanto, segue-se exemplos gerais.
Duas operações envolvendo a função colchete que usarei neste artigo:
1) Dado
e
, obviamente,
;
2) Dados
, com
e
e se temos
, então é fácil verificar intuitivamente que
, ou seja
é a parte inteira da divisão de
por
.
LEMA. Na sequência definida por
, com
, temos que
não divide
.
Exemplo: se
, com
, então
não divide
.
Demonstração.
Ora,
implica em
, logo
não pode dividir a soma
.
Para maior compreensão, usando o exemplo do lema com
, ou seja,
, temos
E como
, segue que
não é múltiplo de
.
TEOREMA. Se
representa o enésimo número livre de
, então
Demonstração. Observe que em
, temos ( ver 2) )
. Assim,
Como vimos pelo LEMA demonstrado,
nunca é múltiplo de
.
O próximo passo, para conseguir
, é ordenar
, ou seja, colocar em função de
.
Dado o inteiro
, com
, temos que qualquer elemento do conjunto
quando dividido por
, deixa resto
. Assim, os elementos deste conjunto podem ser representados pela sequência de termo geral
. Podemos, então fazer,
, logo
![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](http://latex.codecogs.com/gif.latex?_dL_n%3Dn-1+%5Cleft%20%5B%20%5Cfrac%7Bn-1%7D%7Bd-1%7D%20%5Cright%20%5D+1)
( ver 1) )
Desta forma,
Desta forma,
Na sequência dos números ímpares
,
;
Nos números livres de
, cujos primeiros termos são
, temos
;
Na sucessão dos números livres de
, temos que o milésimo termo da sequência
é calculado como se segue.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfwokEOofMERbmXvIsGNasahHJin5ciGVUk9Z9DElXPafVRu9ysxPyTOANHojcNnE0CQz1TD38yDiTudTEND6nT65uMMcgnZ-0UrVRln1j2T_z7Xv1qEDg0fxQx3kjSvM6VJ8lBYcFHow/s320/Caixa+Amarela.jpg)
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