ELEMENTOS: 127- Limite Fundamental e Polinômios

Depois de uma longa ausência e agora na condição de estudante de graduação de matemática ( bacharelado ), volto com um interessante artigo sobre limite.

Considere dois polinômios $p_1(x)$ e $p_2(x)$ de mesmo grau $n\geq 1$ e em ambos o coeficiente do termo de maior grau é $1$ . Suponha que estes polinômios quando considerados como equações, ou seja, $p_1(x)=0$ e $p_2(x)=0$ , possuam todas as suas raízes reais e que a soma destas raízes sejam respectivamente,

$S_1=\alpha _1+\alpha_2+...+\alpha_n$

$S_2=\beta_1+\beta_2+...+\beta_n$

Então,

$\lim_{x\rightarrow \infty}\left [ \frac{p_1(x)}{p_2(x)} \right ]^x=e^{S_2-S_1}$

DEMONSTRAÇÃO

$\left [ \frac{p_1(x)}{p_2(x)} \right ]^x=\left [ \frac{(x-\alpha _1)(x-\alpha _2)...(x-\alpha _n)}{(x-\beta _1)(x-\beta _2)...(x-\beta _n)} \right ]^x=\left [ \frac{x(1-\frac{\alpha _1}{x})x(1-\frac{\alpha _2}{x})...x(1-\frac{\alpha _n}{x})}{x(1-\frac{\beta _1}{x})x(1-\frac{\beta _2}{x})...x(1-\frac{\beta _n}{x})} \right ]^x=$

$=\frac{(1-\frac{\alpha _1}{x})^x(1-\frac{\alpha _2}{x})^x...(1-\frac{\alpha _n}{x})^x}{(1-\frac{\beta _1}{x})^x(1-\frac{\beta _2}{x})^x...(1-\frac{\beta _n}{x})^x}=$

$=\frac{\left [ \left ( 1+\frac{1}{(-x/\alpha _1)} \right )^{-\frac{x}{\alpha _1}}\right ]^{(-\alpha _1)}\left [ \left ( 1+\frac{1}{(-x/\alpha _2)} \right )^{-\frac{x}{\alpha _2}}\right ]^{(-\alpha _2)}...\left [ \left ( 1+\frac{1}{(-x/\alpha _n)} \right )^{-\frac{x}{\alpha _n}}\right ]^{(-\alpha _n)}}{\left [ \left ( 1+\frac{1}{(-x/\beta_1 )} \right )^{-\frac{x}{\beta_1}}\right ]^{(-\beta_1)}\left [ \left ( 1+\frac{1}{(-x/\beta_2)} \right )^{-\frac{x}{\beta_2}}\right ]^{(-\beta_2)}...\left [ \left ( 1+\frac{1}{(-x/\beta_n)} \right )^{-\frac{x}{\beta_n}}\right ]^{(-\beta_n)}}$

Aqui podemos utilizar o limite fundamental $\lim_{f(x)\rightarrow \infty}\left ( 1+\frac{1}{f(x)} \right )^{f(x)}=e$ em cada fator do numerador e em cada fator do denominador desta expressão. Sejam $i$ e $j$ inteiros positivos.

Identificamos que $f_i(x)=-\frac{x}{\alpha _i}$ , com $1\leq i\leq n$ , relacionado aos fatores do numerador e que $g_j(x)=-\frac{x}{\beta _j}$ , com $1\leq j\leq n$ , relacionado aos fatores do denominador. Veja que

$\lim_{x\rightarrow \infty}f_i(x)=\lim_{x\rightarrow \infty}g_j(x)=\lim_{x\rightarrow \infty}-\frac{x}{\alpha_i }=\lim_{x\rightarrow \infty}-\frac{x}{\beta _j }=\infty$

Logo,

$\lim_{x\rightarrow \infty }\left [ \frac{p_1(x)}{p_2(x)}\right ]^x=\frac{e^{-\alpha _1}.e^{-\alpha _2}...e^{-\alpha _n}}{e^{-\beta _1}.e^{-\beta _2}...e^{-\beta _n}}=\frac{e^{-\alpha _1-\alpha _2-...-\alpha _n}}{e^{-\beta_1-\beta_2-...-\beta_n}}=\frac{e^{-(\alpha _1+\alpha _2+...+\alpha _n)}}{e^{-(\beta_1+\beta_2+...+\beta_n)}}=$

$=\frac{e^{-S_1}}{e^{-S_2}}=e^{-S_1-(-S_2)}=e^{S_2-S_1}$

Exemplo 1. Calcular $\lim_{x\rightarrow \infty}\left ( \frac{x+7}{x-3} \right )^x$ . Temos $p_1(x)=x+7$ , com $S_1=-7$ e $p_2(x)=x-3$ , com $S_2=3$ . Segue que $\lim_{x\rightarrow \infty}\left ( \frac{x+7}{x-3} \right )^x=e^{S_2-S_1}=e^{3-(-7)}=e^{10}$

Exemplo 2. Calcular $\lim_{x\rightarrow \infty}\left ( 1-\frac{1}{x^2} \right )^x$ . Este limite é equivalente a $\lim_{x\rightarrow \infty}\left ( \frac{x^2-1}{x^2} \right )^x$ . O polinômio do numerador é $p_1(x)=x^2-1$ e o polinômio do denominador é $p_2(x)=x^2$ . Ambos possuem o mesmo grau e raízes reais cujas somas são $S_1=0$ e $S_2=0$ , respectivamente. Assim, $\lim_{x\rightarrow \infty}\left ( 1-\frac{1}{x^2} \right )^x=\lim_{x\rightarrow \infty}\left ( \frac{x^2-1}{x^2} \right )^x=e^{S_2-S_1}=e^{0-0}=e^0=1$

Exemplo 3. Calcular $\lim_{x\rightarrow \infty}\left ( \frac{x^2+5x+6}{x^2+13x+42} \right )^x$ . Por intermédio do discriminante delta sabemos que as funções polinomiais $p_1(x)=x^2+5x+6$ e $p_2(x)=x^2+13x+42$ possuem zeros reais. Pelas relações de Girard encontramos que a soma destes zeros referente a cada polinômio é $S_1=-5$ e $S_2=-13$ . Logo,

$\lim_{x\rightarrow \infty}\left ( \frac{x^2+5x+6}{x^2+13x+42} \right )^x=e^{S_2-S_1}=e^{-13-(-5)}=e^{-8}$

Exemplo 4. Sabendo que o conjunto solução da equação $p_1(x)=x^3-6x^2+11x-6=0$ é $\left \{ 1,2,3 \right \}$ , calcule o limite $\lim_{x\rightarrow \infty}\left ( \frac{x^3-6x^2+11x-6}{x^3} \right )^x$ . Temos, de $p_1(x)$ que $S_1=1+2+3=6$ e $S_2=0$ referente a $p_2(x)=x^3$ . Portanto,

$\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \frac{x^3-6x^2+11x-6}{x^3} \right )^x=e^{S_2-S_1}=e^{0-6}=e^{-6}$

Pergunta aos leitores. O teorema também é válido para raízes complexas ?

4 comentários:

Unknown22 de setembro de 2017 às 22:46
Aloisio,
mandou muito bem com esse teorema e demonstração, nunca tinha visto algo do tipo!
Bom, através do seu teorema eu fui calcular alguns limites com raizes complexas, porem coloquei as assintotas no geogebra e vi que deu certo também com raízes complexas, só ainda n sei provar! Fica como exercício ;)

Abraço do seu amigo!
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Prof. Paulo Sérgio23 de setembro de 2017 às 15:22
Muito bom o post Aloísio. Está de parabéns por mais esta contribuição a Matemática.
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Aloisio Teixeira24 de setembro de 2017 às 13:14
Obrigado, Paulo!

Verei se consigo uma periodicidade confortável.

Abraços
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sexta-feira, 22 de setembro de 2017

127- Limite Fundamental e Polinômios - Teorema das Raízes

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V.O