Depois de uma longa ausência e agora na condição de estudante de graduação de matemática ( bacharelado ), volto com um interessante artigo sobre limite.
Considere dois polinômios
e
de mesmo grau
e em ambos o coeficiente do termo de maior grau é
. Suponha que estes polinômios quando considerados como equações, ou seja,
e
, possuam todas as suas raízes reais e que a soma destas raízes sejam respectivamente,
Então,
DEMONSTRAÇÃO
Aqui podemos utilizar o limite fundamental
em cada fator do numerador e em cada fator do denominador desta expressão. Sejam
e
inteiros positivos.
Identificamos que
, com
, relacionado aos fatores do numerador e que
, com
, relacionado aos fatores do denominador. Veja que
Logo,
Exemplo 1. Calcular
. Temos
, com
e
, com
. Segue que
Exemplo 2. Calcular
. Este limite é equivalente a
. O polinômio do numerador é
e o polinômio do denominador é
. Ambos possuem o mesmo grau e raízes reais cujas somas são
e
, respectivamente. Assim, ![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%5Cleft%20%28%201-%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D%20%5Cright%20%29%5Ex%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7Bx%5E2-1%7D%7Bx%5E2%7D%20%5Cright%20%29%5Ex%3De%5E%7BS_2-S_1%7D%3De%5E%7B0-0%7D%3De%5E0%3D1)
Exemplo 3. Calcular
. Por intermédio do discriminante delta sabemos que as funções polinomiais
e
possuem zeros reais. Pelas relações de Girard encontramos que a soma destes zeros referente a cada polinômio é
e
. Logo,
Exemplo 4. Sabendo que o conjunto solução da equação
é
, calcule o limite
. Temos, de
que
e
referente a
. Portanto,
Pergunta aos leitores. O teorema também é válido para raízes complexas ?
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfwokEOofMERbmXvIsGNasahHJin5ciGVUk9Z9DElXPafVRu9ysxPyTOANHojcNnE0CQz1TD38yDiTudTEND6nT65uMMcgnZ-0UrVRln1j2T_z7Xv1qEDg0fxQx3kjSvM6VJ8lBYcFHow/s320/Caixa+Amarela.jpg)
Aloisio,
ResponderExcluirmandou muito bem com esse teorema e demonstração, nunca tinha visto algo do tipo!
Bom, através do seu teorema eu fui calcular alguns limites com raizes complexas, porem coloquei as assintotas no geogebra e vi que deu certo também com raízes complexas, só ainda n sei provar! Fica como exercício ;)
Abraço do seu amigo!
Tiago!
ExcluirAqui no blog também publico contribuições dos amigos. Caso tenha algo interessante, original ou não, pois o que importa é o aprendizado, sua versão da demonstração.
Valeu!
Muito bom o post Aloísio. Está de parabéns por mais esta contribuição a Matemática.
ResponderExcluirObrigado, Paulo!
ResponderExcluirVerei se consigo uma periodicidade confortável.
Abraços