sábado, 14 de outubro de 2017

128 - Comparação entre Diretiva e Derivada da Função Seno e Cosseno

Definição. Dado  racionaldiretiva da função   é a função  na variável  definida por



Da mesma forma define-se a diretiva () da função :


Observem os leitores que para , a diretiva  de  coincide com a definição de derivada -ésima de . De fato, pois


E a partir de  a diretiva de   se repete conforme os quatro valores iniciais.

Notem, ainda que, para a diretiva de  é a primitiva de   , ou seja

. Para fins de melhor exposição, não vamos considerar a constante de integração, sem prejuízo de entendimento e equivalência de igualdade.  

Essa mesma propriedade da diretiva podemos verificar para a função , com  inteiro.

Do exposto, podemos concluir que, para  inteiro , temos a correspondência (1)



Mas, as diretivas  de  e foram definidas para  racional. O que significa então, em termos de derivada, por exemplo, a diretiva  de ?   Em outras palavras, o que significa a derivada meiésina de ?

Condizente com a estrutura das derivadas sucessivas, onde derivar  vezes uma função é calcular a derivada -ésima desta função ( dentro do parêntese tempos  parcelas iguais a ), podemos ensaiar a seguinte definição de derivada meiésima:

Derivada meiésima de  é a operação que, aplicada duas vez em , obtêm-se.    Simbolicamente,


Vamos verificar se, com essa definição, a  derivada meiésima de  é coincidente com a diretiva   da mesma função.   Vejamos, para, temos

e


Suponha . Vamos então calcular o resultado de



usando as fórmulas de diretiva para ver se chegamos a .

Assumindo que as propriedades  e  das derivadas normais também são válidas para as derivadas fracionárias, temos






o que queríamos mostrar.

Dado  inteiro positivo e seguindo a mesmo lógica, podemos definir a derivada de "ordem"  de uma função  a operação que, aplicada  vezes em , obtêm-se  .

Fica como desafio aos leitores verificar se essa última definição é compatível com a diretiva , de  ou 

Conjectura: a correspondência (1) é válida para todo e qualquer  racional .







   



4 comentários:

  1. Seja bem-vindo de volta.
    a.Tavano

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  2. Oi, Teixeira. Esses assuntos sempre me fascinaram, lembrei-me que há uns quarenta anos eu estava pensando o que seria uma função de meia variável!!!
    Aproveitando sua ideia. Podemos supor que a derivada n-ésima de x^k é {k!/(n-k)!](x^(n-k)) isso daria para x°=1 que a derivada meio-ésima de 1 seria 1/sqrt(pix)
    Loucura, kk

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    1. Oi, Tavano

      O Paulo Sérgio escreveu algo a respeito para potências.

      Confira em http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2011/01/uma-breve-historia-do-calculo.html

      Abraços

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  3. Desculpe, onde se lê (n-k)! e X^(n-k), leia-se (k-n)! e X^(k-n).

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