A presente postagem é um trabalho para a Faculdade de Matemática
(FAMAT) da Universidade Federal de Uberlândia (UFU) na disciplina Informática e
Ensino. O professor Jocelino Sato propôs o seguinte.
"O assunto deste trabalho é o
software GeoGebra e constituirá de um material escrito
contendo um texto teórico sobre o
estudo de uma função (propriedades,
zeros, sinal, etc.),
junto com o desenvolvimento de pelo menos duas construções, fazendo uso
do GeoGebra,
que possibilitem obter as ilustrações (figuras) presentes no texto e
animações, mediante o
uso de parâmetros de animações (seletores), de propriedades vistas no
estudo teórico.
Todo material escrito será produzido fazendo uso de editores de textos
apropriados, por
exemplo, o LyX, e do software Geogebra. Mas, o produto final será
entregue no formato
.html em um único arquivo, contendo
o desenvolvimento do assunto (texto teórico contendo
exemplos e ilustrações) e recursos (pelo menos dois Applets do Geogebra)
que forneçam interfaces gráficas passíveis de serem manipuladas pelos
usuário, instigando a curiosidade e
a descoberta dos conceitos matemáticos."
Estudaremos a função definida por
nos seguintes aspectos: domínio, período, imagem, amplitude,
intersecção com os eixos coordenados, sinal, intervalos de
crescimento e decrescimento, pontos de máximo e pontos de
mínimo. Ao final da análise, faremos dois gráficos.
A função
assume o mesmo
domínio e período de
, ou
seja,
e
.
A imagem ou os valores que
pode assumir vai
depender se
ou se
. Isto porque os
valores de
estão limitados no
intervalo
e caso
, temos que a imagem
de
é o intervalo
. Por outro lado,
se
, temos a imagem no
intervalo
. Se a base
ou
, os limites do intervalo da imagem são tais que
, em ambos os casos.
Defino como amplitude de uma função periódica limitada o módulo da diferença dos limites do intervalo de sua imagem. Assim, a amplitude de
é
.
, com
Da função
já sabemos todos os pontos tais que
. Nos interessa agora o
intervalo onde
e o intervalo
onde
. Temos dois casos a
considerar relativo à base
.
.
![This is the rendered form of
the equation. You can not edit this directly. Right click will give you
the option to save the image, and in most browsers you can drag the
image onto your desktop or another program.](https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfn_jvn%20f%28x%29%3E0%5CRightarrow%20a%5E%7Bsen%5C%20x%7D-1%3E0%5CRightarrow%20a%5E%7Bsen%5C%20x%7D%3Da%5E0%5CRightarrow%20sen%5C%20x%3E0)
Domínio, período, imagem e
amplitude
A função
A imagem ou os valores que
Defino como amplitude de uma função periódica limitada o módulo da diferença dos limites do intervalo de sua imagem. Assim, a amplitude de
Intersecção com os eixo
coordenados
O gráfico da função definida por
intersecta
simultaneamente o eixo
e
no ponto
, pois
. Por
definição de função, o ponto
é único.
Acharemos agora todos os pontos do tipo
. Fazendo
, temos
Logo, os pontos de intersecção do gráfico de
com o
eixo
são da
forma
, com
.
Sinal da função
Da função
Então
para![This is the rendered form of the equation. You can
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another program.](https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfn_jvn%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D%202k%5Cpi%20%3Cx%3C%282k+1%29%5Cpi%20%7D)
Então
para ![This is the rendered form of the equation. You can
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another program.](https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfn_jvn%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%282k+1%29%5Cpi%20%3Cx%3C%282k+2%29%5Cpi%20%7D)
.
Então
para ![This is the rendered form of the equation. You can
not edit this directly. Right click will give you the option to save the
image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or
another program.](https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfn_jvn%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%282k+1%29%5Cpi%20%3Cx%3C%282k+2%29%5Cpi%20%7D)
Então
para
Intervalos de crescimento e
decrescimento
Calculemos a derivada de
Sendo
Novamente, temos dois casos a considerar.
Neste caso, o sinal de
dependerá
exclusivamente do fator
.
Então a função
é crescente para ![This is the rendered form of
the equation. You can not edit this directly. Right click will give you
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image onto your desktop or another program.](https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfn_jvn%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%5Cfrac%7B-%5Cpi%20%7D%7B2%7D+2k%5Cpi%20%3Cx%3C%5Cfrac%7B+%5Cpi%20%7D%7B2%7D+2k%5Cpi%20%7D)
Então a função
é decrescente
para ![This is the rendered form of
the equation. You can not edit this directly. Right click will give you
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image onto your desktop or another program.](https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfn_jvn%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D+2k%5Cpi%20%3Cx%3C%5Cfrac%7B3%5Cpi%20%7D%7B2%7D+2k%5Cpi%7D)
Então a função
é crescente para ![This is the rendered form of
the equation. You can not edit this directly. Right click will give you
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image onto your desktop or another program.](https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfn_jvn%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D+2k%5Cpi%20%3Cx%3C%5Cfrac%7B3%5Cpi%20%7D%7B2%7D+2k%5Cpi%7D)
Então a função
é decrescente para
Pontos de máximo e pontos de
mínimos
Nos pontos de máximo e mínimo as derivadas são nulas.
Fazendo
, temos
Analisando os intervalos de crescimento e decrescimento calculados na
seção anterior, concluímos que
se
, temos pontos de máximo
para
e pontos de mínimo
para
. Caso
, temos pontos
máximos para
e pontos de mínimo
para
.
O gráfico
Coletando todos os dados calculados, estamos em condições de construir
um gráfico com recursos informativos e interativos de qualidade, utilizando uma poderosa ferramenta para estudos
matemáticos, o software gratuito GEOGEBRA (
https://www.geogebra.org/?lang=pt_BR).
Faremos dois gráficos. Um para
e outro
para
.
Caro leitor, use as barretas de rolagem acima e à esquerda do gráfico para alterar os dados do mesmo. Nestas ferramentas,
é a base da expressão
que define a função em estudo e
é o parâmetro inteiro de periodicidade de
, tendo em vista que
.
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