ELEMENTOS: 129-Estudo de uma Função Transcendente Exponencial Trigonométrica

A presente postagem é um trabalho para a Faculdade de Matemática (FAMAT) da Universidade Federal de Uberlândia (UFU) na disciplina Informática e Ensino. O professor Jocelino Sato propôs o seguinte.

"O assunto deste trabalho é o software GeoGebra e constituirá de um material escrito contendo um texto teórico sobre o estudo de uma função (propriedades, zeros, sinal, etc.), junto com o desenvolvimento de pelo menos duas construções, fazendo uso do GeoGebra, que possibilitem obter as ilustrações (figuras) presentes no texto e animações, mediante o uso de parâmetros de animações (seletores), de propriedades vistas no estudo teórico. Todo material escrito será produzido fazendo uso de editores de textos apropriados, por exemplo, o LyX, e do software Geogebra. Mas, o produto final será entregue no formato .html em um único arquivo, contendo o desenvolvimento do assunto (texto teórico contendo exemplos e ilustrações) e recursos (pelo menos dois Applets do Geogebra) que forneçam interfaces gráficas passíveis de serem manipuladas pelos usuário, instigando a curiosidade e a descoberta dos conceitos matemáticos."

Estudaremos a função definida por

$f(x)=a^{sen\ x}-1$ , com $a \in \mathbb{R}$ , $a>0$ e $a\neq 1$

nos seguintes aspectos: domínio, período, imagem, amplitude, intersecção com os eixos coordenados, sinal, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de máximo e pontos de mínimo. Ao final da análise, faremos dois gráficos.

Domínio, período, imagem e amplitude

A função $f(x)=a^{sen\ x}-1$ assume o mesmo domínio e período de $g(x)=sen\ x$ , ou seja, $D_f=\mathbb{R}$ e $p=2\pi$ .

A imagem ou os valores que $f(x)$ pode assumir vai depender se $a>1$ ou se $0<a<1$ . Isto porque os valores de $g(x)=sen\ x$ estão limitados no intervalo $[-1,1]$ e caso $a>1$ , temos que a imagem de $f(x)$ é o intervalo $\left [ f\left ( \frac{-\pi }{2} \right ),f\left ( \frac{+\pi }{2} \right ) \right ]=\left [ \frac{1}{a}-1,a-1 \right ]$ . Por outro lado, se $0<a<1$ , temos a imagem no intervalo $\left [ f\left ( \frac{+\pi }{2} \right ),f\left ( \frac{-\pi }{2} \right ) \right ]=\left [ a-1,\frac{1}{a}-1 \right ]$ . Se a base $a\rightarrow \infty$ ou $a\rightarrow 0$ , os limites do intervalo da imagem são tais que $Im=(-1,+\infty)$ , em ambos os casos.

Defino como amplitude de uma função periódica limitada o módulo da diferença dos limites do intervalo de sua imagem. Assim, a amplitude de $f(x)$ é $Ampl\left [ f(x) \right ]=\left | \left ( \frac{1}{a}-1 \right )-(a-1) \right |=\left | \frac{a^2-1}{a} \right |$ .

Intersecção com os eixo coordenados

O gráfico da função definida por $f(x)=a^{sen\ x}-1$ intersecta simultaneamente o eixo $Ox$ e $Oy$ no ponto $(0,0 )$ , pois $f(0)=a^{sen\0}-1=a^0-1=0$ . Por definição de função, o ponto $(0,y)$ é único.

Acharemos agora todos os pontos do tipo $(x,0)$ . Fazendo $y=f(x)=0$ , temos

$a^{sen\ x}-1=0\Rightarrow a^{sen\ x}=a^0\Rightarrow sen\ x=0\Rightarrow sen\ x=sen\ 0$

$\Rightarrow x=k\pi$ , com $k \in \mathbb{Z}$

Logo, os pontos de intersecção do gráfico de $f(x)$ com o eixo $Ox$ são da forma $(k\pi ,0)$ , com $k \in \mathbb{Z}$ .

Sinal da função

Da função $f(x)=a^{sen\ x}-1$ já sabemos todos os pontos tais que $f(x)=0$ . Nos interessa agora o intervalo onde $f(x)> 0$ e o intervalo onde $f(x)< 0$ . Temos dois casos a considerar relativo à base $a$ .

$I)\ {\color{Red} a>1}$ .

$f(x)>0\Rightarrow a^{sen\ x}-1>0\Rightarrow a^{sen\ x}=a^0\Rightarrow sen\ x>0$

Então ${\color{Red} f(x)>0}$ para ${\color{Red} 2k\pi <x<(2k+1)\pi }$

$f(x)<0\Rightarrow a^{sen\ x}-1<0\Rightarrow a^{sen\ x}<a^0\Rightarrow sen\ x<0$

Então ${\color{Red} f(x)<0}$ para ${\color{Red} (2k+1)\pi <x<(2k+2)\pi }$

$II){\color{Red} 0<a<1}$

$f(x)>0\Rightarrow a^{sen\ x}-1>0\Rightarrow a^{sen\ x}>a^0\Rightarrow sen\ x<0$

Então ${\color{Red} f(x)>0}$ para ${\color{Red} (2k+1)\pi <x<(2k+2)\pi }$

$f(x)<0\Rightarrow a^{sen\ x}-1<0\Rightarrow a^{sen\ x}<a^0\Rightarrow sen\ x>0$

Então ${\color{Red} f(x)<0}$ para ${\color{Red} 2k\pi <x<(2k+1)\pi }$

Intervalos de crescimento e decrescimento

Calculemos a derivada de $f(x)=a^{sen\ x}-1$ .

$f'(x)=(a^{sen\ x}-1)'(sen\ x)'$ ( regra da cadeia )

$f'(x)=(ln\ a).(a^{sen\ x}).cos\ x$

Sendo $a^{sen\ x}>0\ , \forall x \in\mathbb{R}$ , pois uma função exponencial pura é totalmente positiva, o sinal de $f'(x)$ dependerá apenas do produto $(ln\ a)(cos\ x)$ .

Novamente, temos dois casos a considerar.

$I)\ {\color{Red} a>1\Rightarrow ln\ a>0}$

Neste caso, o sinal de $f'(x)$ dependerá exclusivamente do fator $cos\ x$ .

$f'(x)>0\Rightarrow cos\ x>0$

Então a função $f(x)$ é crescente para ${\color{Red} \frac{-\pi }{2}+2k\pi <x<\frac{+\pi }{2}+2k\pi }$

$f'(x)<0\Rightarrow cos\ x<0$

Então a função $f(x)$ é decrescente para ${\color{Red} \frac{\pi }{2}+2k\pi <x<\frac{3\pi }{2}+2k\pi}$

$II)\ {\color{Red} 0<a<1}{\color{Red} \Rightarrow lna<0}$

$f'(x)>0\Rightarrow (lna)(cos\ x)>0\Rightarrow cos\ x<0$

Então a função $f(x)$ é crescente para ${\color{Red} \frac{\pi }{2}+2k\pi <x<\frac{3\pi }{2}+2k\pi}$

$f'(x)<0\Rightarrow (lna)(cos\ x)<0\Rightarrow cos\ x>0$

Então a função $f(x)$ é decrescente para ${\color{Red} \frac{-\pi }{2}+2k\pi <x<\frac{+\pi }{2}+2k\pi }$

Pontos de máximo e pontos de mínimos

Nos pontos de máximo e mínimo as derivadas são nulas. Fazendo $f'(x)=0$ , temos

$(ln\ a)(a^{sen\ x})cos\ x=0\Rightarrow cos\ x=0$

$\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+2k\pi \ ou\ x=\frac{-\pi }{2} +2k\pi$

Analisando os intervalos de crescimento e decrescimento calculados na seção anterior, concluímos que

se $a>1$ , temos pontos de máximo para $x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$ e pontos de mínimo para $x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi$ . Caso $0<a<1$ , temos pontos máximos para $x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi$ e pontos de mínimo para $x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$ .

O gráfico

Coletando todos os dados calculados, estamos em condições de construir um gráfico com recursos informativos e interativos de qualidade, utilizando uma poderosa ferramenta para estudos matemáticos, o software gratuito GEOGEBRA ( https://www.geogebra.org/?lang=pt_BR).

Faremos dois gráficos. Um para $a>1$ e outro para $0<a<1$ .

Caro leitor, use as barretas de rolagem acima e à esquerda do gráfico para alterar os dados do mesmo. Nestas ferramentas, $a$ é a base da expressão $f(x)=a^{sen\ x}-1$ que define a função em estudo e $k$ é o parâmetro inteiro de periodicidade de $x$ , tendo em vista que $f(x)=f(x+2k\pi )$ .

Páginas

domingo, 22 de outubro de 2017

129-Estudo de uma Função Transcendente Exponencial Trigonométrica

Nenhum comentário:

Postar um comentário

V.O