128 - Comparação entre Diretiva e Derivada da Função Seno e Cosseno

Definição. Dado  racional,  diretiva da função   é a função  na variável  definida por

Da mesma forma define-se a diretiva () da função :

Observem os leitores que para , a diretiva  de  coincide com a definição de derivada -ésima de . De fato, pois

E a partir de  a diretiva de   se repete conforme os quatro valores iniciais.

Notem, ainda que, para a diretiva de  é a primitiva de   , ou seja

. Para fins de melhor exposição, não vamos considerar a constante de integração, sem prejuízo de entendimento e equivalência de igualdade.  

Essa mesma propriedade da diretiva podemos verificar para a função , com  inteiro.

Do exposto, podemos concluir que, para  inteiro , temos a correspondência (1)

Mas, as diretivas  de  e foram definidas para  racional. O que significa então, em termos de derivada, por exemplo, a diretiva  de ?   Em outras palavras, o que significa a derivada meiésina de ?

Condizente com a estrutura das derivadas sucessivas, onde derivar  vezes uma função é calcular a derivada -ésima desta função ( dentro do parêntese tempos  parcelas iguais a ), podemos ensaiar a seguinte definição de derivada meiésima:

Derivada meiésima de  é a operação que, aplicada duas vez em , obtêm-se.    Simbolicamente,

Vamos verificar se, com essa definição, a  derivada meiésima de  é coincidente com a diretiva   da mesma função.   Vejamos, para, temos

e

Suponha . Vamos então calcular o resultado de

usando as fórmulas de diretiva para ver se chegamos a .

Assumindo que as propriedades  e  das derivadas normais também são válidas para as derivadas fracionárias, temos

o que queríamos mostrar.

Dado  inteiro positivo e seguindo a mesmo lógica, podemos definir a derivada de "ordem"  de uma função  a operação que, aplicada  vezes em , obtêm-se  .

Fica como desafio aos leitores verificar se essa última definição é compatível com a diretiva , de  ou . 

Conjectura: a correspondência (1) é válida para todo e qualquer  racional .