Da mesma forma define-se a diretiva () da função :
Observem os leitores que para , a diretiva de coincide com a definição de derivada -ésima de . De fato, pois
Notem, ainda que, para a diretiva de é a primitiva de , ou seja
. Para fins de melhor exposição, não vamos considerar a constante de integração, sem prejuízo de entendimento e equivalência de igualdade.
Essa mesma propriedade da diretiva podemos verificar para a função , com inteiro.
Do exposto, podemos concluir que, para inteiro , temos a correspondência (1)
Mas, as diretivas de e foram definidas para racional. O que significa então, em termos de derivada, por exemplo, a diretiva de ? Em outras palavras, o que significa a derivada meiésina de ?
Condizente com a estrutura das derivadas sucessivas, onde derivar vezes uma função é calcular a derivada -ésima desta função ( dentro do parêntese tempos parcelas iguais a ), podemos ensaiar a seguinte definição de derivada meiésima:
Derivada meiésima de é a operação que, aplicada duas vez em , obtêm-se. Simbolicamente,
Vamos verificar se, com essa definição, a derivada meiésima de é coincidente com a diretiva da mesma função. Vejamos, para, temos
e
Suponha . Vamos então calcular o resultado de
usando as fórmulas de diretiva para ver se chegamos a .
Assumindo que as propriedades e das derivadas normais também são válidas para as derivadas fracionárias, temos
o que queríamos mostrar.
Dado inteiro positivo e seguindo a mesmo lógica, podemos definir a derivada de "ordem" de uma função a operação que, aplicada vezes em , obtêm-se .
Fica como desafio aos leitores verificar se essa última definição é compatível com a diretiva , de ou .
Conjectura: a correspondência (1) é válida para todo e qualquer racional .
Seja bem-vindo de volta.
ResponderExcluira.Tavano
Oi, Teixeira. Esses assuntos sempre me fascinaram, lembrei-me que há uns quarenta anos eu estava pensando o que seria uma função de meia variável!!!
ResponderExcluirAproveitando sua ideia. Podemos supor que a derivada n-ésima de x^k é {k!/(n-k)!](x^(n-k)) isso daria para x°=1 que a derivada meio-ésima de 1 seria 1/sqrt(pix)
Loucura, kk
Oi, Tavano
ExcluirO Paulo Sérgio escreveu algo a respeito para potências.
Confira em http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2011/01/uma-breve-historia-do-calculo.html
Abraços
Desculpe, onde se lê (n-k)! e X^(n-k), leia-se (k-n)! e X^(k-n).
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