Depois de uma longa ausência e agora na condição de estudante de graduação de matemática ( bacharelado ), volto com um interessante artigo sobre limite.
Considere dois polinômios e de mesmo grau e em ambos o coeficiente do termo de maior grau é . Suponha que estes polinômios quando considerados como equações, ou seja, e , possuam todas as suas raízes reais e que a soma destas raízes sejam respectivamente,
Então,
DEMONSTRAÇÃO
Aqui podemos utilizar o limite fundamental em cada fator do numerador e em cada fator do denominador desta expressão. Sejam e inteiros positivos.
Identificamos que , com , relacionado aos fatores do numerador e que , com , relacionado aos fatores do denominador. Veja que
Logo,
Exemplo 1. Calcular . Temos , com e , com . Segue que
Exemplo 2. Calcular . Este limite é equivalente a. O polinômio do numerador é e o polinômio do denominador é . Ambos possuem o mesmo grau e raízes reais cujas somas são e , respectivamente. Assim,
Exemplo 3. Calcular . Por intermédio do discriminante delta sabemos que as funções polinomiais e possuem zeros reais. Pelas relações de Girard encontramos que a soma destes zeros referente a cada polinômio é e . Logo,
Exemplo 4. Sabendo que o conjunto solução da equação é , calcule o limite . Temos, de que e referente a . Portanto,
Pergunta aos leitores. O teorema também é válido para raízes complexas ?
Aloisio,
ResponderExcluirmandou muito bem com esse teorema e demonstração, nunca tinha visto algo do tipo!
Bom, através do seu teorema eu fui calcular alguns limites com raizes complexas, porem coloquei as assintotas no geogebra e vi que deu certo também com raízes complexas, só ainda n sei provar! Fica como exercício ;)
Abraço do seu amigo!
Tiago!
ExcluirAqui no blog também publico contribuições dos amigos. Caso tenha algo interessante, original ou não, pois o que importa é o aprendizado, sua versão da demonstração.
Valeu!
Muito bom o post Aloísio. Está de parabéns por mais esta contribuição a Matemática.
ResponderExcluirObrigado, Paulo!
ResponderExcluirVerei se consigo uma periodicidade confortável.
Abraços