sexta-feira, 22 de setembro de 2017

127- Limite Fundamental e Polinômios - Teorema das Raízes

Depois de uma longa ausência e agora na condição de estudante de graduação de matemática ( bacharelado ), volto com um interessante artigo sobre limite.
Considere dois polinômios  e  de mesmo grau  e em ambos o coeficiente do termo de maior grau é . Suponha que estes polinômios quando considerados como equações, ou seja,  e , possuam   todas as suas raízes reais e que a soma destas raízes sejam respectivamente,


Então,



DEMONSTRAÇÃO


Aqui podemos utilizar o limite fundamental  em cada fator do numerador e em cada fator do denominador desta expressão. Sejam  e   inteiros positivos.
 Identificamos que , com , relacionado aos fatores do numerador e que , com , relacionado aos fatores do denominador. Veja que 


Logo,


Exemplo 1. Calcular . Temos , com  e  , com . Segue que  


Exemplo 2. Calcular . Este limite é equivalente a. O polinômio do numerador é  e o polinômio do denominador é . Ambos possuem o mesmo grau e raízes reais cujas somas são  e , respectivamente. Assim, 

Exemplo 3. Calcular . Por intermédio do discriminante delta sabemos que as funções polinomiais  e  possuem zeros reais. Pelas relações de Girard encontramos que a soma destes zeros referente a cada polinômio é   e  . Logo,


Exemplo 4. Sabendo que o conjunto solução da equação  é , calcule o limite . Temos, de  que  e  referente a . Portanto,




Pergunta aos leitores. O teorema também é válido para raízes complexas ?


  






4 comentários:

  1. Aloisio,
    mandou muito bem com esse teorema e demonstração, nunca tinha visto algo do tipo!
    Bom, através do seu teorema eu fui calcular alguns limites com raizes complexas, porem coloquei as assintotas no geogebra e vi que deu certo também com raízes complexas, só ainda n sei provar! Fica como exercício ;)

    Abraço do seu amigo!

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    1. Tiago!
      Aqui no blog também publico contribuições dos amigos. Caso tenha algo interessante, original ou não, pois o que importa é o aprendizado, sua versão da demonstração.

      Valeu!

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  2. Muito bom o post Aloísio. Está de parabéns por mais esta contribuição a Matemática.

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  3. Obrigado, Paulo!

    Verei se consigo uma periodicidade confortável.

    Abraços

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