e dele podemos extrair as regras gerais de derivação, como a regra da soma e a regra do produto de funções, etc, assim como as regras específicas, por exemplo, a derivada de uma potência
.
No entanto, podemos calcular as derivadas de
,
e
usando apenas matemática elementar. São exercícios interessantes de geometria analítica e plana.
Derivada de ![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](http://latex.codecogs.com/gif.latex?y%3Dx%5E2)
No caso de
, se queremos encontrar a inclinação
da reta tangente ao ponto
da parábola, primeiramente encontramos a equação da reta que passa pelo ponto
, ou seja,
ou
. Mas, pelo ponto
passam infinitas retas.
Para que a equação
seja a da reta tangente que procuramos, é necessário que a igualdade
tenha uma única solução, tendo em vista que existe um único ponto de contato. Isto é um caso de discriminante delta nulo na equação equivalente
. Vejamos,
Para que a equação
Isto prova que
, pois o ponto
pode ser qualquer um da parábola ou
.
Sabemos, pela geometria plana que, se temos duas retas de inclinações
e
e se as mesmas são perpendiculares entre si, então
.
No diagrama, queremos achar a inclinação da reta tangente ao semicírculo no ponto
. A inclinação do raio é
, logo, como o raio passando por
é perpendicular à tangente em
, temos que a inclinação da tangente ao semicírculo neste ponto é
.
Como a equação do semicírculo é
, decorre que
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No diagrama, queremos achar a inclinação da reta tangente ao semicírculo no ponto
Como a equação do semicírculo é
Derivada de ![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](http://latex.codecogs.com/gif.latex?y%3Dsen%20%5C%20x)
Considere o ponto
(vermelho) em movimento circular uniforme (
), sentido anti-horário, com raio de trajetória
e espaço angular inicial zero, ou seja, quando
, temos
, medidos a partir do eixo horizontal, no primeiro quadrante e no sentido do movimento.
O tempo de uma volta completa é o período
. Assim, a velocidade angular é
e o espaço angular é dado por
. O espaço e velocidade do ponto
na própria trajetória são dados por
e
.
Seja agora o ponto
(azul) a projeção do ponto
no eixo
. Acompanhando o movimento do ponto vermelho, o ponto azul faz um movimento oscilatório "para cima" e "para baixo", cujos extremos de espaço são
e
.
Nos interessa calcular as funções horárias do espaço
e velocidade
, do ponto azul.
Pelo diagrama ,verifique que o espaço percorrido pelo ponto azul no eixo vertical é
. Já
é o módulo do vetor velocidade do ponto vermelho na própria trajetória. Seja o vetor velocidade
a projeção do vetor velocidade
sobre o eixo
. Assim, pela relação entre os triângulos retângulos temos que
.
Ora, pelo Cálculo sabemos que, se
, então
. Logo o que vimos foi uma prova cinemática de que
, para
e
.
Para provar cinematicamente que
basta considerar o mesmo movimento circular de
, mas com projeção no eixo
.
Para provar cinematicamente que
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfwokEOofMERbmXvIsGNasahHJin5ciGVUk9Z9DElXPafVRu9ysxPyTOANHojcNnE0CQz1TD38yDiTudTEND6nT65uMMcgnZ-0UrVRln1j2T_z7Xv1qEDg0fxQx3kjSvM6VJ8lBYcFHow/s320/Caixa+Amarela.jpg)
Muito legal.
ResponderExcluirEsse blog é excelente. Mas algumas imagens custumam ficar ausente .Alguem tem alguma ideia de como resolver o problema??
ResponderExcluirEste topico,por exemplo, eu nao consigo visualizar as imagens e as expressoes matematicas (eu acho) :http://elementosdeteixeira.blogspot.com.br/2012/04/geometria-e-gravidade.html
O que eu faço?
Caro visitante, pretendo corrigir os artigos anteriores, mas levará um tempo.
ResponderExcluirObrigado pela visita.
Ah, tudo bem Aloisio Teixeira. Pensei que estivesse aconteecendo só comigo.
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