124 - Calculando a Tangente com Matemática Elementar

A pedra angular do cálculo diferencial é o limite

 

e dele podemos extrair as regras gerais de derivação, como a regra da soma e a regra do produto de funções, etc, assim como as regras específicas, por exemplo, a derivada de uma potência .

No entanto, podemos calcular as derivadas de , e usando apenas matemática elementar. São exercícios interessantes de geometria analítica e plana.

Derivada de

No caso de , se queremos encontrar a inclinação da reta tangente ao ponto da parábola, primeiramente encontramos a equação da reta que passa pelo ponto , ou seja,  ou  . Mas, pelo ponto passam infinitas retas.

Para que a equação seja a da reta tangente que procuramos, é necessário que a igualdade tenha uma única solução, tendo em vista que existe um único ponto de contato. Isto é um caso de discriminante delta nulo na equação equivalente . Vejamos,

 

  

 

 

Isto prova que , pois o ponto pode ser qualquer um da parábola ou .

Derivada de

 Sabemos, pela geometria plana que, se temos duas retas de inclinações e e se as mesmas são perpendiculares entre si, então .

No diagrama, queremos achar a inclinação da reta tangente ao semicírculo no ponto . A inclinação do raio é , logo, como o raio passando por é perpendicular à tangente em , temos que a inclinação da tangente ao semicírculo neste ponto é .

Como a equação do semicírculo é   ,  decorre que

  

Derivada de

Considere o ponto (vermelho) em movimento circular uniforme ( ), sentido anti-horário, com raio de trajetória e espaço angular inicial zero, ou seja, quando , temos , medidos a partir do eixo horizontal, no primeiro quadrante e no sentido do movimento.

O tempo de uma volta completa é o período . Assim, a velocidade angular é e o espaço angular é dado por . O espaço e velocidade do ponto na própria trajetória são dados por e .

Seja agora o ponto (azul) a projeção do ponto no eixo . Acompanhando o movimento do ponto vermelho, o ponto azul faz um movimento oscilatório "para cima" e "para baixo", cujos extremos de espaço são e .

Nos interessa calcular as funções horárias do espaço e velocidade , do ponto azul. 

Pelo diagrama ,verifique que o espaço percorrido pelo ponto azul no eixo vertical é . Já é o módulo do vetor velocidade do ponto vermelho na própria trajetória. Seja o vetor velocidade a projeção do vetor velocidade sobre o eixo .  Assim, pela relação entre os triângulos retângulos temos que . 

Ora, pelo Cálculo sabemos que, se , então . Logo o que vimos foi  uma prova cinemática de que , para  e .

Para provar cinematicamente que basta considerar o mesmo movimento circular de , mas com projeção no eixo .