Quais as condições para que o produto de dois números naturais seja divisível pela soma dos mesmos? Algebricamente, dados , e , com e , quando é possível a igualdade
? (1)
Vamos responder esta pergunta provando que esta equação tem solução em para todo e qualquer valor natural de não nulo. O meio pelo qual faremos isto é resolvendo-a, de fato. Então o formato das soluções nas variáveis e , em função da constante , fornecerá as condições de existência da igualdade. Curiosamente, as soluções dependem dos divisores de .
Começamos fazendo o produto dos meios pelos extremos de (1). Em seguida, isolamos as variáveis no primeiro membro. Chegamos a
Agora faremos um artifício de fatoração, somando e subtraindo do primeiro membro a potência .
Colocando em evidência e e colocando para o segundo membro, temos
Por sua vez, colocamos em evidência.
(2)
A equação (2) é equivalente a equação (1) com a ressalva .
Concluímos que e são divisores complementares de . Designaremos estes divisores por e , ou seja, . Assim, e . Logo,
Exemplo 1. Seja um primo onde . As soluções naturais para esta equação são geradas pelas igualdades
Pelo conjunto dos divisores naturais de , ou seja,
temos que
;
; e
Assim o conjunto solução de é
Com isso, verifica-se que a equação só admite três soluções em , se for primo.
Exemplo 2. Resolver a equação .
Temos , logo
;
;
;
;
E as soluções restantes são os pares com as coordenadas trocadas.
Conclusão: a equação sempre tem soluções em e o número delas é o número de divisores de . E ainda, admite as soluções triviais , e .
Observação. A equação em é um caso particular da equação mais geral em , estudada nos artigos 001 - Uma Equação Diofantina Especial e 006 - Uma Equação Diofantina Especial - II .