ELEMENTOS: 119 - O Produto pela Soma

sexta-feira, 13 de junho de 2014

119 - O Produto pela Soma

Quais as condições para que o produto de dois números naturais seja divisível pela soma dos mesmos? Algebricamente, dados $x \in \mathbb{N}$ , $y \in \mathbb{N}$ e $a \in \mathbb{N}$ , com $x+y \neq 0$ e $a \neq 0$ , quando é possível a igualdade

$\frac{xy}{x+y}=a$ ? (1)

Vamos responder esta pergunta provando que esta equação tem solução em $U=\mathbb{N}$ para todo e qualquer valor natural de $a$ não nulo. O meio pelo qual faremos isto é resolvendo-a, de fato. Então o formato das soluções nas variáveis $x$ e $y$ , em função da constante $a$ , fornecerá as condições de existência da igualdade. Curiosamente, as soluções dependem dos divisores de $a^2$ .

Começamos fazendo o produto dos meios pelos extremos de (1). Em seguida, isolamos as variáveis no primeiro membro. Chegamos a

$xy-ay-ax=0$

Agora faremos um artifício de fatoração, somando e subtraindo do primeiro membro a potência $a^2$ .

$xy-ay-ax+a^2-a^2=0$

Colocando em evidência $y$ e $a$ e colocando $-a^2$ para o segundo membro, temos

$y(x-a)-a(x-a)=a^2$

Por sua vez, colocamos $(x-a)$ em evidência.

$(x-a)(y-a)=a^2$ (2)

A equação (2) é equivalente a equação (1) com a ressalva $x+y \neq 0$ .

Concluímos que $(x-a)$ e $(y-a)$ são divisores complementares de $a^2$ . Designaremos estes divisores por $d(a^2)$ e $d'(a^2)$ , ou seja, $d(a^2).d'(a^2)=a^2$ . Assim, $x-a=d(a^2)$ e $y-a=d'(a^2)$ . Logo,

$x=a+d(a^2)$

$y=a+d'(a^2)$

Exemplo 1. Seja $p$ um primo onde $\frac{xy}{x+y}=p$ . As soluções naturais para esta equação são geradas pelas igualdades

$x=p+d(p^2)$

$y=p+d'(p^2)$

Pelo conjunto dos divisores naturais de $p^2$ , ou seja,

$D(p^2)=\left \{ 1,p,p^2 \right \}$

temos que

$x=p+1 \Rightarrow y=p+p^2=p(p+1)$ ;

$x=p+p=2p \Rightarrow y=p+p=2p$ ; e

$x=p+p^2=p(p+1) \Rightarrow y=p+1$

Assim o conjunto solução de $\frac{xy}{x+y}=p$ é

$S=\left \{ [p+1,p(p+1)],(2p,2p),[p(p+1),p+1] \right \}$

Com isso, verifica-se que a equação $\frac{xy}{x+y}=a$ só admite três soluções em $U=\mathbb{N}$ , se $a$ for primo.

Exemplo 2. Resolver a equação $\frac{xy}{x+y}=6$ .

Temos $D(36)=\left \{ 1,2,3,4,6,9,12,18,36 \right \}$ , logo

$x=6+1=7 \Rightarrow y=6+36=42$ ;

$x=6+2=8 \Rightarrow y=6+18=24$ ;

$x=6+3=9 \Rightarrow y=6+12=18$ ;

$x=6+4=10 \Rightarrow y=6+9=15$ ;

$x=6+6=12 \Rightarrow y=6+6=12$

E as soluções restantes são os pares com as coordenadas trocadas.

$S=\left \{ (7,42),(8,24),(9,18),(10,15),(12,12),(15,10),(18,9),(24,8),(42,7) \right \}$

Conclusão: a equação $\frac{xy}{x+y}=a$ sempre tem soluções em $U=\mathbb{N}$ e o número delas é o número de divisores de $a^2$ . E ainda, admite as soluções triviais $[(a+1),a(a+1)]$ , $(2a,2a)$ e $[a(a+1), a+1]$ .

Observação. A equação $\frac{xy}{x+y}=a$ em $U=\mathbb{N}$ é um caso particular da equação mais geral $axy+bx+cy=d$ em $U=\mathbb{Z}$ , estudada nos artigos 001 - Uma Equação Diofantina Especial e 006 - Uma Equação Diofantina Especial - II .

8 comentários:

Prof. Paulo Sérgio14 de junho de 2014 às 12:07
Belíssimo post no qual envolvem fatoração e Teoria dos Números de uma forma fácil e criativa. Parabéns!
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Flavio Maia14 de junho de 2014 às 16:33
Muito bom!
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tavano30 de junho de 2014 às 21:25
Oi, Teixeira! Depois de 5 meses!!! Que Bom! Sua habilidade em fazer mágicas é fantástica. Parabéns!
Olhe que interessante. Se a=k^3 então x e y não podem ser ambos cubos, pois se fossem teríamos (x+y)=um cubo o que contradiria o UTF. Abçs
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Aloisio Teixeira1 de julho de 2014 às 17:32
Oi, Tavano. É interessante esta ligação com o UTF. Acho que nos seus cálculos vc usou o fato de que (xy)^n/(x^n+y^n)=z^n é equivalente a x^(-n)+y^(-n)=z^(-n). Já tentei até demonstrar o UTF com estas equações e é claro, sem sucesso, rs.

Abraços
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