terça-feira, 1 de julho de 2014

120 - Novo Método para a Solução Inicial (x0,y0) da EDL ax+by=c

A equação diofantina linear ou não tem nenhuma solução inteira ou possui infinitas soluções inteiras. Isto decorre do fato de que, se houver soluções inteiras, então divide e divide . E nem sempre isto é possível.

No artigo 005  mostrei que, se tem soluções, então é múltiplo do .

Já no artigo 019 provei que se admitir uma solução , então para todo ,  as outras soluções terão o formato




 
O par é chamado de solução inicial e pode ser achada pelo algoritmo de Euclides, um método essencialmente aritmético e, por vezes, trabalhoso ( ver artigos 017 e 019.)

Mas, ainda no post 019,  expus alguns atalhos para a solução inicial . No entanto, dependem da sorte dos coeficientes , e . Seja, por exemplo, resolver . Logo de cara vemos que  e é uma solução inicial. Assim, as outras soluções são e , com .   Mas esta facilidade não temos para a equação que tem soluções inteiras porque e divide . Neste caso é empregado o algoritmo de Euclides... ou  o método algébrico que sugiro no presente artigo e no qual explanarei a seguir.

Existe uma maneira de fatorar , mas da forma que se apresenta é impossível. É necessário uma fissão de variáveis. Conseguido a fatoração, podemos utilizar o método dos divisores complementares utilizado para resolver a equação , conforme visto no artigo anterior.

Seja  a equação
  

Dividindo ambos os membros pelo coeficiente ,

  

Somando ambos os membros por ,

  

Agora, fazendo e , com e , temos

 

E passamos para a conhecida fatoração do trinômio em do primeiro membro 


  ou


 


Aqui, podemos chamar . Então e são divisores inteiros complementares de . Chamando estes divisores de e , onde , temos e , de forma que 


 

  


Exemplo. Achar uma solução inicial para a EDL


Temos então , e , com  

Os divisores inteiros de são  


Pegando os dois primeiros complementares, temos 


e , com



 


Logo, uma solução inicial para a equação é .

E as outras soluções são geradas por   e , com










4 comentários:

  1. Oi, Teixeira! A equação-exemplo acho que é 3x+2y=7 (2y não 2x)
    "Fazendo x=s+t e y=st com s e t inteiros" Posto que isso nem sempre é possível, não sei qual a consequência dessa transformação, penso que talvez ela vá esconder alguns pares de solução, mas como as soluções são infinitas e se busca só uma inicial talvez sempre haja "s" e "t" inteiros pelo menos para um par (x;y).
    Parabéns pela coragem de mexer em algo tão clássico, e mediante um golpe genial ter obtido uma nova solução para algo "imexível". Abçs.

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    1. Oi, amigo Tavano!

      Valeu a correção, passou-me em branco. Já fiz as alterações.

      Sobre sua observação e como "s" e "t" são dados em forma fracionária, com denominador "b", de repente nem seja necessário que estas duas variáveis sejam inteiras, desde que x=s+t e y=st sejam inteiros. Mas ainda não cheguei a testar isso.

      Obrigado mais uma vez e matemática é isso aí, sempre com caminhos ocultos e rica em possibilidades. Abçs.

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