Quais as condições para que o produto de dois números naturais seja divisível pela soma dos mesmos? Algebricamente, dados , e , com e , quando é possível a igualdade
? (1)
Vamos responder esta pergunta provando que esta equação tem solução em para todo e qualquer valor natural de não nulo. O meio pelo qual faremos isto é resolvendo-a, de fato. Então o formato das soluções nas variáveis e , em função da constante , fornecerá as condições de existência da igualdade. Curiosamente, as soluções dependem dos divisores de .
Começamos fazendo o produto dos meios pelos extremos de (1). Em seguida, isolamos as variáveis no primeiro membro. Chegamos a
Agora faremos um artifício de fatoração, somando e subtraindo do primeiro membro a potência .
Colocando em evidência e e colocando para o segundo membro, temos
Por sua vez, colocamos em evidência.
(2)
A equação (2) é equivalente a equação (1) com a ressalva .
Concluímos que e são divisores complementares de . Designaremos estes divisores por e , ou seja, . Assim, e . Logo,
Exemplo 1. Seja um primo onde . As soluções naturais para esta equação são geradas pelas igualdades
Pelo conjunto dos divisores naturais de , ou seja,
temos que
;
; e
Assim o conjunto solução de é
Com isso, verifica-se que a equação só admite três soluções em , se for primo.
Exemplo 2. Resolver a equação .
Temos , logo
;
;
;
;
E as soluções restantes são os pares com as coordenadas trocadas.
Conclusão: a equação sempre tem soluções em e o número delas é o número de divisores de . E ainda, admite as soluções triviais , e .
Observação. A equação em é um caso particular da equação mais geral em , estudada nos artigos 001 - Uma Equação Diofantina Especial e 006 - Uma Equação Diofantina Especial - II .
Belíssimo post no qual envolvem fatoração e Teoria dos Números de uma forma fácil e criativa. Parabéns!
ResponderExcluirValeu, Paulo. Existem muitas questões da Teoria dos Números que se resolvem com o processo da fatoração algébrica. Por exemplo, acho que a mais simples é calcular as soluções naturais de [;x^2-y^2=3;] .
ExcluirMuito bom!
ResponderExcluirObrigado, Prof Flávio!
ExcluirOi, Teixeira! Depois de 5 meses!!! Que Bom! Sua habilidade em fazer mágicas é fantástica. Parabéns!
ResponderExcluirOlhe que interessante. Se a=k^3 então x e y não podem ser ambos cubos, pois se fossem teríamos (x+y)=um cubo o que contradiria o UTF. Abçs
Reciprocamente se X^3 + Y^3=Z^3 então existe uma equação de Teixeira tal que a=(X^3)(Y^3) e x e y são ambos cubos x=(Z^3)(X^3) e y=(Z^3)(Y^3), vale também para uma potência qualquer. Abçs
ExcluirOi, Tavano. É interessante esta ligação com o UTF. Acho que nos seus cálculos vc usou o fato de que (xy)^n/(x^n+y^n)=z^n é equivalente a x^(-n)+y^(-n)=z^(-n). Já tentei até demonstrar o UTF com estas equações e é claro, sem sucesso, rs.
ResponderExcluirAbraços
Nada como falar com alguém que já tentou. É parecido com isso, xy(x+y)=k^n com x e y primos entre si, é equivalente ao UTF, Mas eu consegui: "Uma grande dor de cabeça".rs.Abçs
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