segunda-feira, 12 de março de 2012

025-A Fórmula de Heron

O valor de um terreno, cujo [;m^2;] custa R$ [;1.500,00;] , pode ser calculado se conhecermos sua área, ou seja, quantos unidades de [;m^2;] "cabem" dentro do mesmo. Se o terreno tiver um formato triangular com medidas conforme o diagrama abaixo 


 a tarefa fica fácil pois conhecemos a base [;b=10m;] e  a altura [;h=8m;].

A área [;S;] de um triângulo é a metade ( [;1/2;] ) do produto da base [;b;] pela altura [;h;]. Simbolicamente,

[;S=\frac{b.h}{2};]

Assim, [;S=\frac{10m.8m}{2}=40m^2;]

Então se o [;m^2;]  deste terreno custa R$ [;1.500,00;], o terreno todo custará [;40;] vezes R$ [;1.500,00=;]R$ [;60.000,00;]

Mas suponha que o leitor tenha um outro terreno triangular com as seguintes medidas 

  
Conforme o modelo, sabemos o valor  dos três lados do triângulo mas não de sua altura. E agora, como proceder para o cálculo da área deste terreno?

Em caso prático, o mais simples, talvez, seria esquecer as medidas dos lados [;a=9m;] e [;b=10m;], pegar uma fita métrica e medir a desconhecida altura. 

Porém, pode ocorrer do leitor ter apenas as medidas [;a;] ,[;b;] e [;c;] anotadas e estar distante do terreno, resolvendo o negócio em outra localidade. Como calcular a área com esses dados?


Felizmente, podemos contar com o apoio póstumo do  grande matemático, físico, engenheiro, inventor e astrônomo grego Arquimedes de Siracusa, [;287 a.C-212 a.C;], que, de acordo com os antigos historiadores, é autor do método de calcular a área de um triângulo apenas com as medidas dos lados.


No entanto, a mais antiga demonstração que se conhece deste método se deve ao geômetra e também grego Heron de Alexandria,  [;10 d.C-70 d.C;], que  a mencionou na sua obra A Métrica e por isso a  fórmula leva seu nome.

O que nos foi legado por estes dois sábios da antiguidade, relativo ao cálculo da área de um triângulo a partir dos lados, é descrito a seguir.

Obs: nos cálculos, usarei aproximação de três casas decimais.

Primeiro soma-se os lados e divide-se por dois:

[;p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{9 + 10 + 12}{2}=15,500;]

Aqui, o resultado [;p;] é conhecido como semiperímetro.

Em segundo, anota-se os resultados da diferença de [;p;] por cada lado:

[;p-a=15,50-9=6,500;]

[;p-b=15,50-10=5,500;]

[;p-c=15,50-12=3,500;]

Em terceiro, multiplica-se [;p;] por cada diferença:

[;p(p-a)(p-b)(p-c)=(15,500)(6,500)(5,500)(3,500)=1939,437;]

E em quarto e último, extra-se a raiz quadrado deste resultado:

[;S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{1939,437}=44,039;]

Logo, a  área do segundo triângulo é [;S=44,039m^2;].

[;\rightarrow;] O aprendiz pode treinar desenhando em um papel ( usando lápis ou caneta e uma régua ) um triângulo qualquer e depois medir seus lados e altura em [;cm;]. A tarefa fim é calcular ( usando ou não calculadora, como preferir ) a área com as fórmulas

 [;S=\frac{b.h}{2};]   

 [;S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)};]  

 e comparar os valores encontrados.

Aqui, o estudante prático pode dar-se por satisfeito pois já conhece estas duas ferramentas para o cálculo da área de um triângulo que pode usar para fins diversos: áreas de terrenos, provas / concursos, etc.

Mas para o estudante que, além de prático, é curioso e investigador ( e por isso leva uma grande vantagem sobre os demais ), que gosta saber a essência dos conhecimentos matemáticos, deve estar se perguntando porque a fórmula de Heron funciona,  se não é que já sabe. Para estes entusiastas, segue a demonstração da fórmula de Heron,  para conhecimento e/ou revisão.
  


FÓRMULA DE HERON 


 Se [;a;], [;b;] e [;c;] são os lados de um triângulo qualquer, então a área do mesmo é

[;S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)};], com [;p=\frac{a+b+c}{2};]


DEMONSTRAÇÃO 


A demonstração será em duas partes ( [;I;] e [;II;] ).


Parte [;I;]  

Considere o triângulo agudo - primeiro triângulo ( com ângulo [;A < 90^o;]) e o triângulo obtuso - segundo triângulo ( com ângulo [;A>90^o;]), conforme os diagramas a seguir.




Em ambos:

- [;h_c;] é a altura relativo ao lado [;c;];
- [;m;] é a projeção do lado [;b;] sobre a reta que contêm o lado [;c;] ([;DB;]). Reparem que se [;m=0;], podemos ter [;A=D=90^o;]. Logo, estamos considerando também, embora implicitamente, o triângulo retângulo.

Nesta primeira etapa da demonstração, vamos provar que no primeiro triângulo vale a relação [;a^2=b^2+c^2-2cm;] e, no segundo triângulo, vale [;a^2=b^2+c^2+2cm;] . Estas relações são as generalizações algébricas do teorema de pitágoras ([;TP;]), válidas para qualquer triângulo ( a generalização trigonométrica do [;TP;]é chamada de Lei dos Cossenos ).  

Usaremos o sinal [;\pm;] e diremos que a relação [;a^2=b^2+c^2 \pm 2cm;] vale para ambos os triângulos. A idéia é provar os dois casos de um único modo.

Sem mais delongas, observem que no triângulo [;CDB;], tanto no primeiro quanto no segundo triângulo, de acordo com o [;TP;], temos

[;a^2=h_c^2+(c \pm m)^2 \Rightarrow;]

[;a^2=h_c^2+c^2 \pm 2cm + m^2;] ( 1 )

E no triângulo [;CDA;] , também existente em ambos os triângulos, usando novamente o [;TP;], temos

[;h_c^2=b^2-m^2;] ( 2 ) 

Substituindo ( 2 ) em ( 1 ), obtemos

[;a^2=b^2-m^2+c^2 \pm 2cm + m^2 \Rightarrow;] 

[;a^2=b^2+c^2 \pm 2cm;]

e está provado a relação conhecida como Lei das Projeções para um triângulo qualquer.


Parte [;II;]


Nesta segunda parte da demonstração, iremos calcular a altura [;h_c;]. Este é o segredo da fórmula de Heron: o cálculo da altura está embutido em função dos lados! 


Da Lei das Projeções , tiramos: 

[;m=\frac{b^2+c^2-a^2}{\pm 2c};] 

Substituindo em ( 2 )

[;h_c^2=b^2-\left( \frac {b^2+c^2-a^2}{\pm 2c} \right)^2 ;]

Observem que, no segundo membro o [;M.M.C;] dos denominadores é [;(\pm 2c )^2=4c^2;]. Colocando o segundo membro em um denominador comum utilizando este [;M.M.C;], temos

[;h_c^2=\frac{4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2}{4c^2};]

Multiplicando ambos os membros por [;4c^2;]:

[;4c^2h_c^2=(2bc)^2-(b^2+c^2-a^2)^2;]

No segundo membro, usando  o produto notável [;x^2-y^2=(x+y)(x-y);]

[;4c^2h_c^2=[2bc+(b^2+c^2-a^2)][2bc-(b^2+c^2-a^2)];]

Reorganizando algebricamente cada fator entre colchetes, de forma que se forme os quadrados perfeitos [;b^2+2bc+c^2=(b+c)^2;] e [;b^2-2bc+c^2=(b-c)^2;], temos

[;4c^2h_c^2=[(b^2+2bc+c^2)-a^2][a^2-(b^2-2bc+c^2)] \Rightarrow;] 

[;4c^2h_c^2=[(b+c)^2-a^2][a^2-(b-c)^2];]

Agora em cada fator, utilizamos novamente o produto notável [;x^2-y^2=(x+y)(x-y);]

[;4c^2h_c^2=[(b+c+a)(b+c-a)(a+b-c)(a-b+c)] \Rightarrow;]

[;4c^2h_c^2=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c);] ( 3 ) 


Vamos analisar estes fatores, principalmente os três últimos:

Sendo [;p=\frac{a+b+c}{2};] o semiperímetro ou [;a+b+c=2p;], temos 

[;-a+b+c=-a+b+c+a-a=a+b+c-2a=2p-2a=2(p-a);] 

[;a-b+c=a-b+c+b-b=a+b+c-2b=2p-2b=2(p-b);] 

[;a+b-c=a+b-c-c=a+b+c-2c=2p-2c=2(p-c);]

Substituindo esses resultados em ( 3 ): 

[;4c^2h_c^2=2p.2(p-a)2(p-b)2(p-c) \Rightarrow;] 

[;h_c=\frac{2}{c} \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)};]

E temos a altura do triângulo [;ABC;] relativa ao lado [;c;]. Agora basta usar o lado [;c;] como base e usarmos a fómula comum para o cálculo da área de um triângulo:

[;S=\frac{c.h_c}{2}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)};]


Como podem perceber, essas engenhosas manipulações algébricas, vistas na demonstração, só podem ter saído da mente do grande Arquimedes.  

-*-  



PARA SABER MAIS:

No blog FATOS MATEMÁTICOS, do Prof. Paulo Sérgio, temos a demonstração da fórmula de Heron usando a Lei dos Cossenos.

No blog O BARICENTRO DA MENTE, de Kleber Kilhan, sugiro o post O Teorema de Steward, para quem desejar se aprofundar na geometria dos triângulos e saber um pouco sobre a vida deste matemático. 




REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA  




Imagens: http://pt.wikipedia.org/wiki/Arquimedes
                 http://pt.wikipedia.org/wiki/Heron_de_Alexandria



9 comentários:

  1. Muito bom!
    A propósito, outro livro sensacional sobre geometria é "CQD" de Gilberto Garbi. Caso não tenha visto, recomendo.
    Abs (Cesar)

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  2. Oi! Quando vi a fórmula de Heron achei interessante porque nela se extraia a raiz quadrada de metro elevado à quarta para dar metro quadrado e a decorei. Certa vez eu trabalhando no atendimento de um banco fui chamado ao setor de empréstimos, Tavano! me disse o chefe do setor, Temos um terreno dado em garantia e precisamos saber o valor dele para hoje, sabemos o preço do metro quadrado na região mas na escritura não consta a área e o terreno é triangular só consta a medida dos lados (talvez o escrivão não soubesse calcular) Nem é preciso dizer que Heron me salvou. Verifiquei depois que o triângulo não era retângulo o que deve ter dificultado o cálculo da área. Há certas informações que pensamos que jamais serão úteis. Obrigado

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    1. Oi, Tavano

      A geometria plana talvez seja a parte da matemática com mais aplicações práticas porque partiu da necessidade do homem de demarcar suas terras. Isto, desde o começo das civilizações. De lá para cá, não se mudou muita coisa em relação as fórmulas. O que não se pode dizer o mesmo dos aparelhos de medições.

      Na sua experiência relatada, vc tinha um ás na manga ( fórmula de Heron ) que fez com que aumentasse o conceito positivo com seu chefe.

      Sobre informações que pensamos que jamais serão úteis, temos o caso moderno da geometria não-euclidiana que foi uma ferramenta indispensável para Einstein desenvolver sua Teoria da Relatividade.

      Valeu, Tavano e obrigado pelo seu relato.

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  3. Novamente publicou um post com muita riqueza de detalhes. Vejo que também gosta de geometria. Com certeza este post será muito útil para todos que precisam saber mais sobre a fórmula de Heron. Obrigado pelo link citado acima.

    Dica: Acho que você devia criar uma página secundária com a lista de posts já publicados.

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    1. Oi, Prof. Paulo Sérgio,

      O treinamento que sugeri neste post eu fazia muito quando tinha uns 12 anos. Também bolei um jogo matemático de dupla onde ganhava quem desenhasse um triângulo cuja área se aproximasse o máximo de [;50cm^2;] sem ultrapassar este valor.

      Ainda estou para aprender como coloco um menu embaixo do título do blog. O Kleber e o Valdir me passaram uns links que ainda não tive oportunidade para ler.

      Obrigado pela dica, com certeza ela é útil.

      Valeu.

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  4. Muito bom Aloísio. Gostei de ler e deixar melevar pelo seu raciocínio. Demorei um pouco para ler, pois infelizmente o tempo é curto para dar conta de tantos artigos excelentes e para um texto técnico, não dá para ler sem ter o mínimo de concentração.
    Obrigado por citar meu blog. No link abaixo tem o método de Heron para aproximações de raízes quadradas:

    http://obaricentrodamente.blogspot.com/2008/11/mtodo-de-hero-para-aproximao-de-raz.html

    Aproveitando, adicionei seu banner em minha lista de parceiros.

    Abraços.

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  5. Oi, Kleber!

    Obrigado pelo elogio e força!

    Olha, posso dizer que depois que li seu trabalho sobre o teorema de Steward me senti uma "autoridade" sobre triângulos. Não estou exagerando.

    Eu olhei no seu link sobre o método de Heron para aproximar raízes e confesso que é outra novidade interessante para mim. Valeu!

    Agradeço pelo banner e pela divulgação no seu prestigiado e tradicional blog.

    Um grande abraço!

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  6. muito bem explicado, agora sim entendi vlw cara vc é o cara

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