025-A Fórmula de Heron

O valor de um terreno, cujo  custa R$  , pode ser calculado se conhecermos sua área, ou seja, quantos unidades de  "cabem" dentro do mesmo. Se o terreno tiver um formato triangular com medidas conforme o diagrama abaixo 

 a tarefa fica fácil pois conhecemos a base  e  a altura .

A área  de um triângulo é a metade (  ) do produto da base  pela altura . Simbolicamente,

Assim, . 

Então se o   deste terreno custa R$ , o terreno todo custará  vezes R$ R$ . 

Mas suponha que o leitor tenha um outro terreno triangular com as seguintes medidas 

  

Conforme o modelo, sabemos o valor  dos três lados do triângulo mas não de sua altura. E agora, como proceder para o cálculo da área deste terreno?

Em caso prático, o mais simples, talvez, seria esquecer as medidas dos lados  e , pegar uma fita métrica e medir a desconhecida altura. 

Porém, pode ocorrer do leitor ter apenas as medidas  , e  anotadas e estar distante do terreno, resolvendo o negócio em outra localidade. Como calcular a área com esses dados?

Felizmente, podemos contar com o apoio póstumo do  grande matemático, físico, engenheiro, inventor e astrônomo grego Arquimedes de Siracusa, , que, de acordo com os antigos historiadores, é autor do método de calcular a área de um triângulo apenas com as medidas dos lados.

No entanto, a mais antiga demonstração que se conhece deste método se deve ao geômetra e também grego Heron de Alexandria,  , que  a mencionou na sua obra A Métrica e por isso a  fórmula leva seu nome.

O que nos foi legado por estes dois sábios da antiguidade, relativo ao cálculo da área de um triângulo a partir dos lados, é descrito a seguir.

Obs: nos cálculos, usarei aproximação de três casas decimais.

Primeiro soma-se os lados e divide-se por dois:

Aqui, o resultado  é conhecido como semiperímetro.

Em segundo, anota-se os resultados da diferença de  por cada lado:

Em terceiro, multiplica-se  por cada diferença:

E em quarto e último, extra-se a raiz quadrado deste resultado:

Logo, a  área do segundo triângulo é .

 O aprendiz pode treinar desenhando em um papel ( usando lápis ou caneta e uma régua ) um triângulo qualquer e depois medir seus lados e altura em . A tarefa fim é calcular ( usando ou não calculadora, como preferir ) a área com as fórmulas

    

   

 e comparar os valores encontrados.

Aqui, o estudante prático pode dar-se por satisfeito pois já conhece estas duas ferramentas para o cálculo da área de um triângulo que pode usar para fins diversos: áreas de terrenos, provas / concursos, etc.

Mas para o estudante que, além de prático, é curioso e investigador ( e por isso leva uma grande vantagem sobre os demais ), que gosta saber a essência dos conhecimentos matemáticos, deve estar se perguntando porque a fórmula de Heron funciona,  se não é que já sabe. Para estes entusiastas, segue a demonstração da fórmula de Heron,  para conhecimento e/ou revisão.
  

FÓRMULA DE HERON 

 Se ,  e  são os lados de um triângulo qualquer, então a área do mesmo é

, com 

DEMONSTRAÇÃO 

A demonstração será em duas partes (  e  ).

Parte   

Considere o triângulo agudo - primeiro triângulo ( com ângulo ) e o triângulo obtuso - segundo triângulo ( com ângulo ), conforme os diagramas a seguir.

Em ambos:

-  é a altura relativo ao lado ;
-  é a projeção do lado  sobre a reta que contêm o lado  (). Reparem que se , podemos ter . Logo, estamos considerando também, embora implicitamente, o triângulo retângulo.

Nesta primeira etapa da demonstração, vamos provar que no primeiro triângulo vale a relação  e, no segundo triângulo, vale  . Estas relações são as generalizações algébricas do teorema de pitágoras (), válidas para qualquer triângulo ( a generalização trigonométrica do é chamada de Lei dos Cossenos ).  

Usaremos o sinal  e diremos que a relação  vale para ambos os triângulos. A idéia é provar os dois casos de um único modo.

Sem mais delongas, observem que no triângulo , tanto no primeiro quanto no segundo triângulo, de acordo com o , temos

 ( 1 )

E no triângulo  , também existente em ambos os triângulos, usando novamente o , temos

 ( 2 ) 

Substituindo ( 2 ) em ( 1 ), obtemos

 

e está provado a relação conhecida como Lei das Projeções para um triângulo qualquer.

Parte 

Nesta segunda parte da demonstração, iremos calcular a altura . Este é o segredo da fórmula de Heron: o cálculo da altura está embutido em função dos lados! 

Da Lei das Projeções , tiramos: 

 

Substituindo em ( 2 ): 

Observem que, no segundo membro o  dos denominadores é . Colocando o segundo membro em um denominador comum utilizando este , temos

Multiplicando ambos os membros por :

No segundo membro, usando  o produto notável : 

Reorganizando algebricamente cada fator entre colchetes, de forma que se forme os quadrados perfeitos  e , temos

 

Agora em cada fator, utilizamos novamente o produto notável 

 ( 3 ) 

Vamos analisar estes fatores, principalmente os três últimos:

Sendo  o semiperímetro ou , temos 

 

 

Substituindo esses resultados em ( 3 ): 

 

E temos a altura do triângulo  relativa ao lado . Agora basta usar o lado  como base e usarmos a fómula comum para o cálculo da área de um triângulo:

Como podem perceber, essas engenhosas manipulações algébricas, vistas na demonstração, só podem ter saído da mente do grande Arquimedes.  

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PARA SABER MAIS:

No blog FATOS MATEMÁTICOS, do Prof. Paulo Sérgio, temos a demonstração da fórmula de Heron usando a Lei dos Cossenos.

No blog O BARICENTRO DA MENTE, de Kleber Kilhan, sugiro o post O Teorema de Steward, para quem desejar se aprofundar na geometria dos triângulos e saber um pouco sobre a vida deste matemático. 

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA  

Imagens: http://pt.wikipedia.org/wiki/Arquimedes
                 http://pt.wikipedia.org/wiki/Heron_de_Alexandria