A letra grega
( pí ) foi utilizada para representar a razão (
) da circunferência pelo seu diâmetro, em
, por William Jones,
, na sua Synopsis Palmariorum Matheseos, or A New Introduction to the Mathematics.
No entanto foi o matemático suiço Leonhard Euler,
, quem a popularizou, no uso calejado deste símbolo em seus incontáveis artigos e livros de texto.
No entanto foi o matemático suiço Leonhard Euler,
Neste artigo, apelarei para o lado intuitivo e indutivo do leitor para mostrar que, em se tratando de resultados ousados, nada resiste à uma aventura algébrica, e, na matemática, uma manipulação descompromissada de resultados conhecidos podem muito bem levar à resultados novos válidos. Esta era a virtuose de Euler, um dos melhores "matemágicos" de todos os tempos.
O resultado da série infinita
Partirei da equação cúbica completa
Se
,
e
são as raízes desta equação, usando as relações de Girard, temos:
Euler considerou a equação polinomial de grau infinito
supostamente contendo infinitas soluções e estendeu (!) o resultado anterior:
Considerando estas raízes como zeros da função polinomial infinita
, temos
Portanto,
As derivadas sucessivas da função trigonométrica,
, são
e a partir da última derivada, os resultados se repetem
,
,
,
, etc.
De acordo com Euler, funções com iguais derivadas sucessivas são iguais. Na existência de uma função polinomial infinita
de mesmas derivadas sucessivas que
, temos
Dividindo por
e pensando como equação,
Substituindo
por
, temos
Se as raízes de ( 2 ) são
,
,
,..., segue-se que as raízes de ( 3 ) são
,
,
,..... Assim, a soma dos inversos das raízes de ( 3 ), utilizando (1), é
Esta é uma das mais belas expressões infinitas com o uso do número
que já foram concebidas pela mente humana.
*
*
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Definição mais elegante:
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Imagens: http://harry-j-smith-memorial.com/Pi/PiWhat.html
http://www.hierophant.com.br/arcano/posts/view/X_Parser/112
http://www.hierophant.com.br/arcano/posts/view/X_Parser/112
Excelente artigo Aloísio! Isso mostra que Euler deve figurar entre as mentes mais brilhantes da história de matemática, por tanta dedicação e contribuição!
ResponderExcluirFeliz dia do PI!!
Obrigado, Kleber!
ResponderExcluirSem dúvidas Euler estar na mesma faixa que Arquimedes, Newton e Gauss.
Oi Teixeira! Muito bom artigo! Euler provou que em matemática: Ousar é preciso(=necessário) mas ousar não é preciso(=formal). Abçs
ResponderExcluirObrigado Tavano, ousar é preciso para descobrir. O rigor pode vir depois.
ResponderExcluirOlá Aloísio!!!!
ResponderExcluirMaravilha de postagem sobre a o número Pi! O "matemágico" Euler, que não enxergava nada foi um gênio em ver com o seu poder mental, tantas saídas e soluções para o cálculo, como é o caso para esse seu trabalho dessa série infinita e tão bem explicada aqui em sua postagem!!!!
Parabéns, parceiro e creia, a sua contribuição é de suma importância para quem estiver estudando esse conteúdo!!!!
Um abraço!!!!!
Oi, amigo Valdir!
ExcluirPara Euler, calcular era respirar. Bem, quando ele perdeu visão ele continuou respirando, logo...
Outro abraço!