John Wilson ( ) imortalizou-se na matemática por um importante resultado em teoria dos números. Embora tivesse sido um estudante que obteve, em Cambridge, distinção em matemática , ele abandonou-a profissionalmente em favor do direito (um segundo Fermat?). O teorema de Wilson diz que
é um inteiro se, e somente se, for primo.
DEMONSTRAÇÃO
Este interessante teorema é a fiel observância de duas simples constatações na operação divisão, em relação aos números inteiros. Dados ,
- Se divide , e divide , então divide
Ex: divide e divide , então divide
- Se divide , não divide
Ex: divide , mas não divide
À luz de e , vamos ver se estas duas afirmações se sustentam:
Sendo composto, tem um divisor .
Por , se divide e divide , então divide
Veja também que, desde que , então é algum fator de , portanto, divide
E surgiu um absurdo: divide e .
O lema foi contradito pela suposição de que era composto.
Logo, se for inteiro, não pode ser composto. será primo.
Imagem: Filme, O Náufrago
é composto, é inteiro
Sendo composto, tem um divisor .
Por , se divide e divide , então divide
Veja também que, desde que , então é algum fator de , portanto, divide
E surgiu um absurdo: divide e .
O lema foi contradito pela suposição de que era composto.
Logo, se for inteiro, não pode ser composto. será primo.
Imagem: Filme, O Náufrago
Não sabia que o teorema de Wilson era tão simples de compreender, usando apenas conceitos básicos de divisibilidade. Parabéns pela postagem.
ResponderExcluirPois é, Paulo, e ainda tem gente que complica.
ResponderExcluirObrigado.
É verdade: até eu entendi! Mais uma bela postagem que servirá como referência na internet!
ResponderExcluirAbraços
Oi, Kleber! O teorema de Wilson é uma fórmula para se reconhecer se um número é primo ou não. Se resultar inteiro, é primo, caso contrário, é composto. Infelizmente, pela existência do fatorial, esta técnica se torna impraticável à medida que o número testado cresce...
ExcluirObrigado pelo "bela postagem"!
Um abraço!
Olá, Aloísio!!!!
ResponderExcluirNão lembro de ter anteriormente estudado esse teorema! Interessante, hein??? E bastante mais interessante foi a sua demonstração que se mostrou eficaz, simplificada e refletidora de conhecimentos dos conteúdos matemáticos que, volta e meia, estamos dependendo de ter o domínio deles, falo dos critérios de divisibilidade, fatorial, divisores e números inteiros simples e os compostos!!! Depois temos uma... demonstração com redução ao absurdo, bem disfarçada e até, a lembrança desse filme... "O Náufrago" o qual eu assisti e já não recordava do nome do personagem da bola, o Wilson!!!
Então, é isso!!!! Parabéns!!!! Bela postagem, ótima demonstração e que segue os conselhos do Malba Tahan para o ensino dos conteúdos da matemática, para que se usasse simplificar os cálculos e usar e abusar até, do lúdico para isso!!!!
Um abraço!!!!!
Oi, nobre Valdir! Eu já vi outras demonstrações do Teorema de Wilson. Veja essa, por exemplo: http://legauss.blogspot.com.br/2010/05/teorema-de-wilson.html. O objetivo de algumas demonstrações é também de exemplificar o uso de alguma outra ferramenta. Curiosamente, a clareza fica em segundo plano.
ExcluirValeu, um abraço!
Pois é, lendo a demonstração do blog Legauss, sem querer desmerecer o post daquele blog, fico em dúvida se o objetivo principal era compartilhar o conhecimento com os colegas matemáticos. Não sou contra em aprofundar um assunto, desde que ele seja posto em doses homeopáticas.
ResponderExcluirConcordo com a última frase, principalmente levando em conta que nosso público em geral é muito diversificado.
ResponderExcluirParabéns, muito bem explicado. Embora a demonstração não seja complexa, ela exige uma certa criatividade, oque na minha opinião a torna mais bela.
ResponderExcluirGrande abraço!
Obrigado, Diogo!
ResponderExcluirA prova da recíproca encontra-se no post 051:
http://elementosdeteixeira.blogspot.com.br/2012/06/051-teorema-de-wilson-ii.html
Um forte abraço!
A demonstração mais simples que já vi para a recíproca é apenas argumentar que exceto p-1 e 1, todos os elementos de [;\mathbb{Z}_p;] tem inverso, e eles são todos distintos. Não é muito difícil e usa somente congruência elementar.
ResponderExcluirDaí, agrupando os inversos em (p-1)! sobra somente (p-1)1, completando a prova.
Oi, Victor Chaves!
ResponderExcluirA demonstração que citou do TW eu não conhecia. Vou pesquisar sobre ela. Obrigado por enriquecer o blog.
Um abraço!
A explicação mais sucinta é que [;\mathcal{Z}_p^*;] é um grupo, [;a^2 \equiv 1 \iff a=\pm 1;]. Daí 1 e p-1 são seus próprios inversos, e nos demais casos, o inverso é distinto e único entre pares de inversos.
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