A QUANTIDADE DE RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO POLINOMIAL
O TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA ( )
Este teorema, que é o mais importante alicerce da álgebra, diz que toda equação polinomial de coeficientes reais ou complexos tem, no campo complexo, pelo menos uma raiz.
onde é um polinômio de grau . Por sua vez, pelo , também possui pelo menos uma raiz complexa, assim, e
No Plano de Gauss visto no diagrama, o ponto representa o número complexo e o ponto representa um número complexo nas imediações ( ao redor ) de . Seja uma função polinomial de coeficientes complexos. Considere de tal forma que o módulo de seja mínimo. Neste caso, ou ou porque o módulo de um número é sempre . Representando , temos que porque, por hipótese, é mínimo.
A demostração será por contradição. Primeiro supomos que , mas como veremos adiante, isto implicará , uma contradição. Logo, só restará , garantindo que a equação polinomial tenha pelo menos a raiz .
Prosseguindo, seja . Logo, ( ver diagrama ) , com e . Assim, .
com , e
Continuando com este raciocínio, para uma equação de grau , obtemos a fatotação
Conclusão: o também implica em afirmar que toda equação polinomial de coeficientes reais ou complexos tem, no campo complexo, exatamente raízes, sendo o grau da equação.
A DEMONSTRAÇÃO
A demonstração de Gauss, do , foi inquestionável,eclipsando uma tentativa de demostração anterior dado por Jean d'Alembert ( ) - matemático de tão grande reputação na época que era conhecido como o Newton da França - cuja "prova" foi rotulada pelo primeiro como "insatisfatória e ilusória". E como se não bastasse, Gauss posteriormente forneceu mais demonstrações por métodos diferentes, todas bastante difíceis. Esta evidência esmagadora do intelecto superior de Gauss neste e em outros trabalhos o classificou como o "Príncipe dos Matemáticos".
Quando um caminho tortuoso é desbravado, logo surgem atalhos em bifurcações. A prova que postarei a seguir é devida ao francês Augustin Cauchy () ( que a conseguiu talvez para defender a honra da França ), a mais simples disponível.
Para entender a demonstração, basta o conhecimento de ensino médio relativo ao desenvolvimento do binômio de newton; operações com polinômios, operações com números complexos, representação geométrica / trigonométrica de números complexos e desigualdades modulares.
No Plano de Gauss visto no diagrama, o ponto representa o número complexo e o ponto representa um número complexo nas imediações ( ao redor ) de . Seja uma função polinomial de coeficientes complexos. Considere de tal forma que o módulo de seja mínimo. Neste caso, ou ou porque o módulo de um número é sempre . Representando , temos que porque, por hipótese, é mínimo.
A demostração será por contradição. Primeiro supomos que , mas como veremos adiante, isto implicará , uma contradição. Logo, só restará , garantindo que a equação polinomial tenha pelo menos a raiz .
Prosseguindo, seja . Logo, ( ver diagrama ) , com e . Assim, .
No polinômio , cujo desenvolvimento é
............................................................................................................
Observem que os primeiros termos das parcelas são ,,..., e . A redução dos termos semelhantes das potências envolvendo , produzirá os monômios , ,...,, com coeficientes complexos. É claro que pode acontecer de algum ser nulo. Usaremos, então apenas os monômios , onde . Portanto, uma melhor representação para eles seria ,,...,, com . Resumindo as considerações deste parágrafo, temos
com , e
Lembrem-se que estamos supondo o módulo mínimo e, portanto, é não-nulo e podemos fazer a divisão
, com
Vamos analisar o produto formado pelos números complexos e .
Considere, agora, o valor de , das imediações de ( ver diagrama ) onde , ou seja, . Substituindo na expressão para :
o que implica
ou
Usando a relação válida para qualquer e que diz que , obtemos
No círculo do diagrama, tomamos um valor adequado para o raio de forma que e sabendo que , temos . Logo, para aquele valor adequado de raio,
Repare que, em se tratando de módulos, operamos com números reais.
Agora, para suficientemente pequeno teremos e consequentemente
Agora, para suficientemente pequeno teremos e consequentemente
E isto implica em
Mas isto é uma contradição à hipótese de que o módulo é mínimo. A causa desta contradição foi supor que . Logo, como , só nos resta .
Assim , de grau , tem pelo menos uma raiz complexa , o que implica, como já vimos, que esta equação tem raízes em .
BIBLIOGRAFIA
- O Romance das Equações Algébricas - A História da Álgebra, de Gilberto G.Garbi, MAKRON Books, 1997;
- História da Matemática, de Carl B.Boyer, Editora Edgard Blücher LTDA, 1974.
Olá, Aloísio!!!!
ResponderExcluirParabéns, por tão interessante e importante demonstração para os fundamentos do cálculo algébrico!!!!
Postagem muito bem elaborada e a sua didática na demonstração nos conduz para um completo entendimento do assunto e tópico abordado, o TFA. Show de bola, com gol de placa!!!!
Me diz, se isso resolveria aquele meu desafio da... "visão de raios-x"????
Já fiz a colocação de uma logomarca provisória (mudarei qd você criar uma) do seu blog na minha lista de parceiros e coloquei a minha foto na cx de seguidores!!! Certo, parceiro???? Até breve!!!!
Um abraço!!!!!
Grande Valdir!
ResponderExcluirNão imagina o trabalho que tive para fazer este post! Tive que ler e refazer no papel várias vezes a demonstração do TFA até que se tornasse uma segunda natureza. Só assim pudia ter confiança para transmiti-lo com minhas palavras.
Muito obrigado pelo seu parecer favorável e seja bem vindo à "irmandade" rs.
Será que resolve o seu desafio de raios x? Mas é de existência de raiz ou cálculo da mesma??
Valeu, um agrande abraço!
Aloísio! Eu li uma vez bem lentamente, mas acho que preciso ler mais umas 7 vezes para entender todas as passagens. Meu raciocínio às vezes é muito lento, me desculpe. Mas parece ser mais um artigo que será referência na internet. Parabéns!
ResponderExcluirUm abraço.
Oi, Kleber!
ExcluirQuando li a demonstração pela primeira vez também me senti perdido. Mesmo porque a demonstração contida no livro "O Romance das Equações Algébricas" queima algumas etapas de desenvolvimento que cheguei a completar no post. Mas mesmo assim, talvez eu poderia ter sido mais claro do que me propus. Obrigado pelo comentário!
Outro abraço.
Mas não tenha dúvida que é uma bela demonstração! Como sugestão, poderia demonstrar o Teorema Fundamental da Aritmética.
ResponderExcluirBoa idéia, Kleber! Está anotado.
ExcluirOi Teixeira!Apenas como curiosidade. No livro "Dicionário da Matemática Moderna", de origem francesa esse teorema consta com o nome de: Teorema de D'alembert-Gauss(O corpo C dos números complexos é algebricamente fechado). Abçs.
ResponderExcluirPois é, Tavano. Tinha que ser na França, mesmo rs.
ExcluirOlá!
ResponderExcluirEu gostei muito deste post! A demonstração não requer nenhum conhecimento de Cálculo, excelente para as videoaulas que estou produzindo. Eu encontrei uma demonstração mais simples (de Argand) mas essa demonstração tem um detalhe que requer conhecimento de Cálculo. A demonstração de Cauchy é um pouco longa e ruim de entender na primeira leitura, mas acho que consigo torná-la mais clara. Parabéns e continue assim (me ajudou muito!).
Oi, Anônimo!
ResponderExcluirTem vídeo aulas no youtube? Se tiver, gostaria de vê-las. Inclusive a sua adaptação desta demonstração.
Obrigado pelo comentário.
Um abraço!
As primeiras videoaulas estão quase prontas e o conteúdo do videocurso será somente assuntos matemáticos estudados no ensino médio e, sempre que possível, apresentar as demonstrações de seus teoremas (nada de ensino superior, pelo menos por enquanto) e terão (aliás, têm) o título "Matemática do ensino médio". As publicações das primeiras videoaulas serão em fevereiro de 2013 e a minha adaptação da demonstração de Cauchy do TFA está prevista para ser publicada em novembro de 2013. Espero que você as assista.
ExcluirUm abraço!
PS.: Dá trabalho para fazer os slides! Não garanto nada (rsrsrs).
Qual seu nome?
ExcluirTalvez não precise de slides...Conhece o blog do meu amigo César Rosa?http://matematicafundacao.blogspot.com.br/
Valeu.