"Se vi mais longe é porque me sustentei sobre ombros de gigantes"
Isaac Newton (
)
Para fechar esta série de Teoria dos Números com aritmética modular (ver post 048), demonstrarei o teorema de Wilson (
Como uma prova alternativa da recíproca do teorema de Wilson, veremos ainda a demonstração do leitor Tavano, onde o mesmo utiliza a fórmula combinativa
do preenchimento de
elementos tomados
elementos, junto com o pequeno teorema de Fermat (
).
Teorema de Euler. Sejam
e
. Se
, então
(
), onde
é a função de Euler. Obs: Se
for primo, temos
Demonstração: post 047.
Teorema de Lagrange. Seja
um primo e
(
) uma equação de congruência polinomial
de grau
, com
(
). Então esta equação tem, no máximo,
raízes incongruentes
.
Demonstração: post 050.
Teorema da fatoração. Se
(
) é raiz de
(
) de grau
, então
(
), onde
é um polinômio inteiro de grau
.
Pequeno teorema de Fermat. É um caso particular do teorema de Euler. Seja
um primo. Então para qualquer
, temos que
, ou seja,
( ![mod [;mod;]](http://thewe.net/tex/mod)
)
( ![mod [;mod;]](http://thewe.net/tex/mod)
).
Demonstração: post 047.
Fórmula de Tavano. Sejam
e
, com
. Se
= número de sequências de
termos que, em cada uma delas, haja todos os elementos de um conjunto de
elementos, então
_*_
( enunciado direto )
ou, seja,
_*_
Demonstração. Será por redução ao absurdo. Suponha
composto. Então o mesmo tem um divisor
onde
. Assim,
(
).
Mas, se
(
) e
(
) , então
(
).
De fato, pois
(
) ![\Rightarrow d|m \Rightarrow m=qd \Rightarrow qd|(a-b) [;\Rightarrow d|m \Rightarrow m=qd \Rightarrow qd|(a-b);]](http://thewe.net/tex/%5CRightarrow%20d%7Cm%20%5CRightarrow%20m=qd%20%5CRightarrow%20qd%7C%28a-b%29)
e
.
I) Fazendo,
e
, temos que
(
).
II) Como
, logo
é um dos fatores de
. Portanto, temos também que
(
).
Comparando os dois resultados
temos que pela propriedade transitiva
Logo,
é primo.
_*_
( recíproca )
Se
for primo, então
(
)
_*_
(
), desde que
(
), que terá raízes para
(
)
(
)
(
)
Demonstração clássica. Partindo do teorema de Euler
pensando em
como incógnita e fazendo
, já que
é primo, temos a equação de congruência polinomial
Esta condição é satisfeita para
,
,
,...,
, tendo em vista que
é primo com todos os inteiros positivos
.
Assim, as classes de equivalência
(
),
(
),...,
(
) são raízes da equação
(
) e observem que todas são incongruentes módulo
, ou seja,
Como o grau do polinômio é
e o coeficiente de
é incongruente a
(
), ou seja,
(
), o teorema de Lagrange nos garante que estas são as únicas raízes incongruentes módulo
desta equação.
Assim, pelo teorema da fatoração, temos a identidade
Fazendo
, temos
Mas, ainda pelo teorema de Euler, temos que
(
).
Logo, para
primo,
(
)
Demonstração de Tavano.
Seja
. Sabemos que
![{k \choose 0}-{k \choose 1}+{k \choose 2}-...+(-1)^{k-1}{k \choose k-1}=-(-1)^k{k \choose k}=-1 [;{k \choose 0}-{k \choose 1}+{k \choose 2}-...+(-1)^{k-1}{k \choose k-1}=-(-1)^k{k \choose k}=-1;]](http://thewe.net/tex/%7Bk%20%5Cchoose%200%7D-%7Bk%20%5Cchoose%201%7D+%7Bk%20%5Cchoose%202%7D-...+%28-1%29%5E%7Bk-1%7D%7Bk%20%5Cchoose%20k-1%7D=-%28-1%29%5Ek%7Bk%20%5Cchoose%20k%7D=-1)
O teorema de Wilson é verdadeiro para
, pois
(
);
Suponha, então,
(primo). Na fórmula de Tavano
Com essa substituição, e pelo pequeno teorema de Fermat, o fator binomial de cada parcela do segundo membro fica
(
), com (
), haja vista que
é primo e além disso
. Portanto, se verifica a condição
[(
),
]
.
(
)
(
)
(
)
e, se
for par, temos
fazendo
, temos que
Assim,
E aplicando
no segundo membro,
Referência Bibliográfica
Teoria dos Números, de Salahoddim Shokranian, Marcus Soares e Hemar Godinho; Editora UNB, 1999;
O que é a Matemática?, de Richard Courant e Herbert Robbins, Editora Ciência Moderna, 2000;
Funções Aritméticas - Números Notáveis, de Edgard de Alencar Filho, Editora Nobel,1988.
Imagem ( fonte da montagem ):
http://www.leochristopherson.com/Mathematicians.htm
http://semasbc.com.br/?attachment_id=638
Oi, Teixeira! Ficou muito bom! e obrigado por postar "minha versão". quando fui apresentado ao teorema de Wilson penei uns seis meses sem conseguir demonstrá-lo, e vê-lo aí no post foi para mim motivo de grande satisfação. abrçs
ResponderExcluirOi! de novo! Só para não perder o costume: veja isto: Seja f(x)=(sen pix)^2 + {sen pi[(x-1)!+1]/x}^2, onde x>0, x é real e x! é definido usando a função gama, então os zeros de f(x) são todos os números primos e só eles? Se encontrarmos um meio de resolver f(x)=0 teríamos uma fórmula para primos? abçs
ResponderExcluirOi, Tavano!
ResponderExcluirEu que agradeço por enriquecer o blog!
Vou analisar esta sua equação.
Um abraço!