quarta-feira, 27 de junho de 2012

052-Generalização do Teorema de Viviani


Teorema. Seja um ponto [;P;] interior de um polígono regular de [;n;] lados. Considere os [;n;] segmentos [;PB;], [;PC;] , [;PD;],...,[;P_nZ;] que se originam de [;P;] e são perpendiculares a cada lado do polígono. Então a soma destes segmentos é [;n;] vezes a apótema [;OA;]


Demonstração. O ângulo [;\beta;] é formado entre duas perpendiculares consecutivas ([;BPC;] , [;CPD;], etc...).  Assim, a soma de todos os ângulos [; \beta;] é [;360^o;], ou seja, [;\beta=\frac{360^o}{n};] .

Em relação à primeira perpendicular [;PB;]:

 [;PB=BS+SP;], com 

[;BS=a;]
e
[;SP=OP.\cos(\alpha)=d \cos(\alpha);]

[; \rightarrow PB=a+dcos(\alpha);]
 
Em relação à segunda perpendicular [;PC;]:


 [;PC=OA^'-PT;] ,com

[;OA^'=a;]
e
[;PT=OP. \cos (t)=d\cos[180^o-(\alpha+\beta)]=-d \cos(\alpha+\beta);]

 [; \rightarrow PC=a+dcos(\alpha+\beta);]

Em relação à terceira perpendicular [;PD;]:


[;PD=OA^''-PV;] , com

[;OA^''=a;]
 e
[;PV=OP.\cos(v)=d \cos[180^o-(\alpha+2 \beta)]=-d \cos(\alpha+2 \beta);]
 
 [;\rightarrow PD=a+d \cos(\alpha+2 \beta);]

E assim por diante, de forma que

Primeira perpendicular: [; PB=a+dcos(\alpha);]

Segunda perpendicular: [; PC=a+dcos(\alpha+\beta);]

Terceira perpendicular: [;PD=a+d \cos(\alpha+2 \beta);]

Quarta perpendicular: [;PE=a+d \cos(\alpha+3 \beta);] 

[;...............................................................................................;]

Enésima perpendicular: [;P_nZ=a+dcos[\alpha+(n-1) \beta];]

Logo, a soma das perpendiculares será

[;S=n.a+d[\cos(\alpha)+\cos (\alpha+\beta)+ \cos(\alpha+2 \beta)+...+\cos(\alpha+(n-1)\beta)];]

Mas, pela parte [;b);] do corolário [;I;] do post 029 (renovado especialmente para este artigo), temos

[;\sum_{n=1}^{n} \cos[\alpha+(n-1)\beta]=\frac{ \cos \left [\frac{\beta(n-1)}{2}+\alpha\right]sen \left(\frac{\beta n}{2}\right)}{sen \left(\frac{\beta}{2} \right)};]

E a soma [;S;] dos segmentos perpendiculares fica

 [;S=n.a+d.\left{\frac{ \cos \left [\frac{\beta(n-1)}{2}+\alpha\right]sen \left(\frac{\beta n}{2}\right)}{sen \left(\frac{\beta}{2} \right)\right};]

Finalmente, como [;\beta=\frac{360^o}{n};], o fator [;sen \left(\frac{\beta n}{2}\right);] entre chaves do numerador é igual a[;sen \left(\frac{360^o}{n}.\frac{n}{2}\right)=sen(180^o)=0;].

Logo, [;S=n.a;]


Nota Histórica: Vicenzo Viviani ([;1622-1703;]) , matemático e cientista italiano, foi aluno de Evangelista Torricelli ([;1608-1647;]) e, durante um bom período, colaborador direto de Galileu Galilei  ([;1564-1642;]). Quando este morreu, Viviane foi seu biógrafo. A reputação de grande filósofo natural que Vicenzo tinha na época, começou a ser destruída quando a Igreja o proibiu de publicar uma edição completa das obras de Galileu. Publicou a versão italiana dos Elementos de Euclides em [;1690;].  O teorema de Viviani  é o caso particular do presente teorema quando o número de lados do polígono regular é [;n=3;] ( triângulo equilátero, onde a altura é o triplo da apótema ).


Referência Bibliográfica 

Trigonometria Elementar, F.T.D, Ed.Livraria Paulo Azevedo & Cia, 1928.
O Livro da Matemática, Clifford A. Pickover, Ed.Librero, 2009.

Imagens

http://pt.wikipedia.org/wiki/Vincenzo_Viviani

13 comentários:

  1. Excelente post. Bastante elegante a demonstração. Nunca tinha ouvido falado desse teorema. Permita-me dar outra solução (sempre bom ter mais de uma):
    Seja S a área do poligono citado ( com n lados de comprimento l ). Temos:
    S=(PA.l+PB.l+...+PZ.l)/2=n{OA.l}/2
    Segue que:
    PA.l+PB.l+...+PZ.l=nOA.l.
    Logo,
    PA+PB+...+PZ=n.OA.

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  2. Obrigado, Hugocito! E, de fato, sua demonstração é mais simples. Mas neste artigo encontrei uma boa oportunidade para aplicar os somatórios trigonométricos. A demonstração que apresentei encontrei em um livro impresso em 1928! Valeu.

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  3. Os livros antigos são os melhores. Eu tenho alguns.
    Semprei estudei com eles e não me arrependo.

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  4. Veja que coisa interessante.
    Você mostrou que
    S=na+d[cos(alfa)+...+cos(alfa + (n-1)beta)]
    e eu mostrei que S=na.
    Logo, temos uma demonstração geométrica de que
    cos(alfa)+...+cos(alfa + (n-1)beta)=0.
    Ou seja, combinando esses métodos de demonstração, temos uma demonstração simples desse somatório

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  5. Bem interessante este teorema. Eu conhecia apenas um problema semelhante no triângulo equilátero cuja demonstração é igual a apresentada pelo Hugocito. Combinando resultados, temos uma prova geométrica da integral natural ou antiderivada finita da sequência cosseno.

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  6. Tem também o curioso teorema de Morley ([;1860-1937;]) que diz que, em qualquer triângulo, os três pontos de intersecção das trissetrizes adjacentes formam sempre um triângulo equilátero. Este teorema foi demonstrado rigorosamente apenas no século [;XX;], mas desconheço a prova.

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  7. Tem a demonstração em Coxeter and Greitzer - Geometry Revisited (1967).
    Página 47.
    Caso não tenha o livro, baixe ele pelo link:
    http://analgeomatica.files.wordpress.com/2008/11/geometryrevisited_coxetergreitzer_0883856190.pdf

    Faz uma postagem sobre ele, é interessante e desconhecido.

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  8. Oi, Hugocito!

    Pena que seja em inglês. Eu não domino a língua inglesa.

    Acho que vc é o mais qualificado para fazer a postagem.

    Abraços!

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    1. Vou tentar fazer nos proximos dias então.

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    2. Axei uma demonstração em portugues. Tem duas demonstrações.

      http://www.atractor.pt/mat/morley/index.htm

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    3. Daora, tem até as generalizações. Muito daora.

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    4. Agora vc pode fazer a postagem.
      (=

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