Teorema. Seja um ponto
Demonstração. O ângulo
é formado entre duas perpendiculares consecutivas (
,
, etc...). Assim, a soma de todos os ângulos
é
, ou seja,
.
Em relação à segunda perpendicular
:
,com
![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](https://latex.codecogs.com/gif.latex?OA%5E%7B%27%7D%3Da)
e
, com
![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](https://latex.codecogs.com/gif.latex?OA%5E%7B%27%27%7D%3Da)
e
e
Em relação à terceira perpendicular
:
e
E assim por diante, de forma que
Primeira perpendicular: ![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](https://latex.codecogs.com/gif.latex?PB%3Da+dcos%28%5Calpha%29)
Segunda perpendicular: ![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](https://latex.codecogs.com/gif.latex?PC%3Da+dcos%28%5Calpha+%5Cbeta%29)
Terceira perpendicular: ![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](https://latex.codecogs.com/gif.latex?PD%3Da+d%20%5Ccos%28%5Calpha+2%20%5Cbeta%29)
Quarta perpendicular:
Enésima perpendicular: ![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](https://latex.codecogs.com/gif.latex?P_nZ%3Da+dcos%5B%5Calpha+%28n-1%29%20%5Cbeta%5D)
Logo, a soma das perpendiculares será
E a soma
dos segmentos perpendiculares fica
Finalmente, como
, o fator
entre chaves do numerador é igual a
.
Logo, ![S=n.a [;S=n.a;]](https://thewe.net/tex/S=n.a)
Nota Histórica: Vicenzo Viviani (
) , matemático e cientista italiano, foi aluno de Evangelista Torricelli (
) e, durante um bom período, colaborador direto de Galileu Galilei (
). Quando este morreu, Viviane foi seu biógrafo. A reputação de grande filósofo natural que Vicenzo tinha na época, começou a ser destruída quando a Igreja o proibiu de publicar uma edição completa das obras de Galileu. Publicou a versão italiana dos Elementos de Euclides em
. O teorema de Viviani é o caso particular do presente teorema quando o número de lados do polígono regular é
( triângulo equilátero, onde a altura é o triplo da apótema ).
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjVk31x9fevn3advOoAM-qdNOJOC6Opev_lDGvvNxdEdHEOvCgpYVz1ZngjRZwSqLnJ8gbIlYeSU2uiPxJr_KXrQyZblArgasey01Ppset3Egn3ZjpjoReWAcImi7x-Zyi-Bpv_gNlBtnk/s1600/Viviane.jpg)
Referência Bibliográfica
Trigonometria Elementar, F.T.D, Ed.Livraria Paulo Azevedo & Cia, 1928.
O Livro da Matemática, Clifford A. Pickover, Ed.Librero, 2009.
Imagens
http://pt.wikipedia.org/wiki/Vincenzo_Viviani
Excelente post. Bastante elegante a demonstração. Nunca tinha ouvido falado desse teorema. Permita-me dar outra solução (sempre bom ter mais de uma):
ResponderExcluirSeja S a área do poligono citado ( com n lados de comprimento l ). Temos:
S=(PA.l+PB.l+...+PZ.l)/2=n{OA.l}/2
Segue que:
PA.l+PB.l+...+PZ.l=nOA.l.
Logo,
PA+PB+...+PZ=n.OA.
Obrigado, Hugocito! E, de fato, sua demonstração é mais simples. Mas neste artigo encontrei uma boa oportunidade para aplicar os somatórios trigonométricos. A demonstração que apresentei encontrei em um livro impresso em 1928! Valeu.
ResponderExcluirOs livros antigos são os melhores. Eu tenho alguns.
ResponderExcluirSemprei estudei com eles e não me arrependo.
Veja que coisa interessante.
ResponderExcluirVocê mostrou que
S=na+d[cos(alfa)+...+cos(alfa + (n-1)beta)]
e eu mostrei que S=na.
Logo, temos uma demonstração geométrica de que
cos(alfa)+...+cos(alfa + (n-1)beta)=0.
Ou seja, combinando esses métodos de demonstração, temos uma demonstração simples desse somatório
Bem interessante este teorema. Eu conhecia apenas um problema semelhante no triângulo equilátero cuja demonstração é igual a apresentada pelo Hugocito. Combinando resultados, temos uma prova geométrica da integral natural ou antiderivada finita da sequência cosseno.
ResponderExcluirTem também o curioso teorema de Morley ([;1860-1937;]) que diz que, em qualquer triângulo, os três pontos de intersecção das trissetrizes adjacentes formam sempre um triângulo equilátero. Este teorema foi demonstrado rigorosamente apenas no século [;XX;], mas desconheço a prova.
ResponderExcluirTem a demonstração em Coxeter and Greitzer - Geometry Revisited (1967).
ResponderExcluirPágina 47.
Caso não tenha o livro, baixe ele pelo link:
http://analgeomatica.files.wordpress.com/2008/11/geometryrevisited_coxetergreitzer_0883856190.pdf
Faz uma postagem sobre ele, é interessante e desconhecido.
Oi, Hugocito!
ResponderExcluirPena que seja em inglês. Eu não domino a língua inglesa.
Acho que vc é o mais qualificado para fazer a postagem.
Abraços!
Vou tentar fazer nos proximos dias então.
ExcluirAxei uma demonstração em portugues. Tem duas demonstrações.
Excluirhttp://www.atractor.pt/mat/morley/index.htm
Daora, tem até as generalizações. Muito daora.
ExcluirMuito bacana, Hugocito!
ExcluirAgora vc pode fazer a postagem.
Excluir(=