É perceptível que, para um inteiro , temos . Sabe-se que e . Mas, qual o valor de
?
Para investigar este último limite, analisaremos a área sob o gráfico da função , primeiramente no intervalo e, a partir deste, generalizaremos o estudo para .
Observem no diagrama que a área no intervalo sob a curva descrita pela função definida por e limitada pelo eixo é maior que a a soma das áreas dos retângulos menores e e menor que a soma das áreas dos retângulos maiores e .
Assim,
+ ++
, para
Mas como , também podemos fazer
Mas como , também podemos fazer
, para
Desenvolvendo a integral definida, passando para exponencial e cancelando as bases, temos
Agora vamos analisar esta desigualdade considerando cada membro.
)
Extraindo a raíz enésima,
Dividindo por ,
)
Multiplicando por ,
Extraindo a raíz enésima,
Dividindo por ,
Então, por e , ficamos com uma desigualdade mais esclarecedora envolvendo :
Vejam que, quando , temos e . Logo,
( pela esquerda)
( pela direita )
e, em consequência,
Referência bibliográfica: Cálculo, Volume , de Serg Lang, Ed.Ao Livro Técnico SA, .
Muito interessante os passos para obter o valor do limite. Na última equação não faltou elevar a 1/n?
ResponderExcluirOi, Paulo!
ResponderExcluirLimites e somatórios infinitos são sempre interessantes pois sempre estão sob um manto de mistério.
Aqui temos uma nova definição para [;e;] que é o inverso deste limite.
E também vemos nela algo sobre a fórmula de Stirling.
Obrigado pelo elogio e correção.
Adorei o post. O problema eh bastante bonito. vlw pelo post.
ResponderExcluirHUGOCITO
Obrigado, Hugocito!
ExcluirÉ apenas uma aplicação de somas superiores e inferiores.