ELEMENTOS: 053-Limite com Fatorial e Exponencial Geral

É perceptível que, para um inteiro $[;n>1;]$ , temos $[;n^n > n!;]$ . Sabe-se que $[;\lim_{n \rightarrow \infty} k^{1/n}=1;]$ e $[;\lim_{n \rightarrow \infty} n^{1/n}=1;]$ . Mas, qual o valor de

$[;\lim_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n!}{n^n}\right)^{1/n};]$ ?

Para investigar este último limite, analisaremos a área sob o gráfico da função $[;f(n)=ln(n);]$ , primeiramente no intervalo $[;[2,4];]$ e, a partir deste, generalizaremos o estudo para $[;[1,n];]$ .

Observem no diagrama que a área $[;S_2^4;]$ no intervalo $[;[2,4];]$ sob a curva descrita pela função definida por $[;f(n)=ln(n);]$ e limitada pelo eixo $[;On;]$ é maior que a a soma das áreas dos retângulos menores $[;BEFC;]$ e $[;DFLJ;]$ e menor que a soma das áreas dos retângulos maiores $[;AEFD;]$ e $[;GFLH;]$ .

Assim,

$[;S_{BEFC};]$ + $[;S_{DFLJ};]$ $[;<;]$ $[;S_2^4;]$ $[;<;]$ + $[;S_{AEFD};]$ + $[;S_{GFLH};]$ $[;\Rightarrow;]$

$[;1.ln(2)+1.ln(3)< \int_2^4 ln(n) < 1.ln(3)+1.ln(4) \Rightarrow;]$

$[;1.ln(2)+1.ln(3)+...ln(n-1)<\int_2^{n} ln(n)<1.ln(3)+1.ln(4)+1.ln(n) \Rightarrow;]$

$[;ln [(n-1)!] < \left[nln(n)-n \right] _ 2^n<ln \left[\frac{n!}{2}\right];]$ , para $[;n \geq 2;]$

Mas como $[;ln[(n!)]>ln \left[\frac{(n!)}{2}\right];]$ , também podemos fazer

$[;ln [(n-1)!] \leq \left[nln(n)-n \right] _ 1^n \leq ln [(n!)];]$ , para $[;n\geq 1;]$

Desenvolvendo a integral definida, passando para exponencial e cancelando as bases, temos

$[;ln [(n-1)!] \leq ln(n^n)-n-(-1) \leq ln [n!] \Rightarrow;]$

$[;e^{ln[(n-1)!]} \leq e^{ln(n^n)-n+1} \leq e^{ln[n!]} \Rightarrow;]$

$[;(n-1)! \leq n^ne^{-n}.e \leq n!;]$

Agora vamos analisar esta desigualdade considerando cada membro.

$[;I;]$ ) $[;n^ne^{-n}.e \leq n!;]$

Extraindo a raíz enésima,

$[;ne^{-1}e^{1/n} \leq (n!)^{1/n};]$

Dividindo por $[;n;]$ ,

$[;\rightarrow \frac{1}{e}.e^{1/n} \leq \left(\frac{n!}{n^n}\right)^{1/n};]$

$[;II;]$ ) $[;(n-1)! \leq n^ne^{-n}.e;]$

Multiplicando por $[;n;]$ ,

$[;n! \leq n^ne^{-n}.e.n;]$

Extraindo a raíz enésima,

$[;n!^{1/n} \leq ne^{-1}e^{1/n}n^{1/n};]$

Dividindo por $[;n;]$ ,

$[;\rightarrow \left(\frac{n!}{n^n}\right)^{1/n} \leq \frac{1}{e}.e^{1/n}n^{1/n};]$

Então, por $[;I;]$ e $[;II;]$ , ficamos com uma desigualdade mais esclarecedora envolvendo $[;\left(\frac{n!}{n^n}\right)^{1/n};]$ :

$[;\frac{1}{e}.e^{1/n} \leq \left(\frac{n!}{n^n}\right)^{1/n} \leq \frac{1}{e}.e^{1/n}n^{1/n};]$

Vejam que, quando $[;n \rightarrow \infty;]$ , temos $[;e^{1/n} \rightarrow 1;]$ e $[;n^{1/n} \rightarrow 1;]$ . Logo,

$[;\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{e}.e^{1/n} = \frac{1}{e};]$ ( pela esquerda)

$[;\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{e}.e^{1/n}n^{1/n} = \frac{1}{e};]$ ( pela direita )

e, em consequência,

$[;\lim_{n \rightarrow \infty} \left(\frac{n!}{n^n}\right)^{1/n} = \frac{1}{e};]$

Referência bibliográfica: Cálculo, Volume $[;I;]$ , de Serg Lang, Ed.Ao Livro Técnico SA, $[;1969;]$ .

4 comentários:

Prof. Paulo Sérgio6 de julho de 2012 às 15:00
Muito interessante os passos para obter o valor do limite. Na última equação não faltou elevar a 1/n?
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Aloisio Teixeira6 de julho de 2012 às 16:50
Oi, Paulo!

Limites e somatórios infinitos são sempre interessantes pois sempre estão sob um manto de mistério.

Aqui temos uma nova definição para [;e;] que é o inverso deste limite.

E também vemos nela algo sobre a fórmula de Stirling.

Obrigado pelo elogio e correção.
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Anônimo7 de julho de 2012 às 10:27
Adorei o post. O problema eh bastante bonito. vlw pelo post.
HUGOCITO
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sexta-feira, 6 de julho de 2012

053-Limite com Fatorial e Exponencial Geral

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V.O