Bernard Bolzano ()
Consequências interessantes do teorema do título dizem respeito à existência de raízes reais da equação algébrica
em face de dois parâmetros: a paridade do grau da equação ( se é par ou ímpar ) e o sinal do termo independente ( se é negativo ou positivo ).
Temos, então, quatro casos:
()- ímpar e há pelo menos uma raíz real negativa
Ex:
()- ímpar e há pelo menos uma raíz real positiva
Ex:
()- par e há um número par de raízes reais - inclusive nenhuma
Ex:
()- par e tem, pelo menos, duas raízes reais de sinais contrários
Ex:
Curiosamente, o único caso em que a equação tem a possibilidade de só admitir raízes complexas é se ela for de grau par com termo independente positivo - caso ().
Conforme disse, estes casos são corolários do teorema de Bolzano cujo enunciado duplo é:
Dado a equação ,
) Se e tiverem sinais contrários, ou seja , então no intervalo há um número ímpar de raízes reais.
Logo, quando o grau da equação for ímpar, teremos
, ,
Assim,
- Se , há pelo menos, uma raíz real no intervalo , ou seja, negativa;
- Se , há pelo menos, uma raíz real no intervalo , ou seja, positiva.
) Se e tiverem o mesmo sinal, isto é, , então no intervalo há um número par ( inclusive zero ) de raízes reais.
Logo, quando o grau da equação for par, teremos
, ,
Assim,
- Se , a única certeza que temos é que existe um número par de raízes reais em e em ;
Demonstração. Sejam , ,..., as raízes reais da equação polinomial. Então, temos
onde é o produto dos binômios corresponentes às raízes complexas, sendo que cada um é da forma
Portanto, sempre vamos ter e este fator não tem influência significativa no sinal de .
Considerando que as raízes reais estão contidas no intervalo e pensando em como função, temos
Multiplicando membro a membro,
Vejam que os fatores , e são sempre positivos. Logo, o sinal do produto depende dos fatores da forma
, com
Reparem que, como , temos .
Ora, a cada raiz contida no intervalo corresponde à um fator negativo.
Consequentemente,
- Se o número de raízes no intervalo for ímpar, teremos:
e terão sinais contrários e reciprocamente.
-Se o número de raízes no intervalo for par, inclusive zero, teremos:
e terão sinais iguais e reciprocamente.
Referência bibliográfica: Matemática, Terceiro Ano Colegial, Ary Quintella, Companhia Editora Nacional, São Paulo, 1968.
Imagem: http://www.taringa.net/posts/humor/5805547/El-teorema-de-bolzano.html
Muito interessante este teorema e a forma como foi apresentada. Mas acho que a conclusão poderia ser mais ampla:
ResponderExcluir"Consequentemente,
- Se o número de raízes no intervalo [;[a,b];] for ímpar, teremos:
[;P(a)P(b)<0;] [;\Rightarrow;] [;P(a);] e [;P(b);] terão sinais contrários e reciprocamente, isto é, se [;P(a)P(b)<0;], então a única possibilidade para isso é que o número de raízes devem ser ímpares.
-Se o número de raízes no intervalo [;[a,b];] for par, inclusive zero, teremos:
[;P(a)P(b)>0;] [;\Rightarrow;] [;P(a);] e [;P(b);] terão sinais iguais e reciprocamente".
Veja se eu não errei no meu raciocínio.
Concordo plenamente, professor e obrigado.
ResponderExcluirNeste teorema, se existir raízes nulas, elas devem ser previamente eliminadas, o que justifica a condição [;A_m \neq 0;].
Considero este teorema como uma orientação para se utilizar o método de Newton junto com as derivadas [;P^'(a);] e [;P^'(b);].