Ao final do post, estaremos em condições de resolver as seguintes questões.
Um número é divisível por
Um número é divisível por
quando for divisível por
e
ao mesmo tempo. Mas caso não seja, como calcular o resto de uma divisão por
, sem dividir?
Um número é divisível por
quando o número formado pelos seus três últimos dígitos for divisível por
. Mas qual o critério da divisibilidade por
para um número de três dígitos? E como calcular o resto de uma divisão por
, sem dividir?
De modo geral, como se calcula o resto
da divisão de um número
por
, sem dividir?
Na aritmética modular, aplicável com as operações de adição algébrica (
) e multiplicação, no conjunto
, os múltiplos inteiros de um número
, chamado de módulo de congruência, funcionam como se fossem "zeros". Nesta aritmética, o equivalente do sinal de igualdade é
, que significa "é congruente módulo
à".
Portanto, dados
e
, temos
Portanto, dados
Assim, neste modelo aritmético, qualquer inteiro pode ser reduzido à um dos elementos do conjunto
porque, pelo algoritmo de Euclides, qualquer número
pode ser representado por
, com
e, portanto,
, com
.
Da mesma forma, pelo mesmo algoritmo, qualquer número
pode ser representado por
, com
. Logo,
, com
, de forma que
.
O conjunto
é chamado de sistema completo de resíduos módulo
.
O conjunto
Exs . Seja o módulo
e
. Logo,
Quando dois números inteiros quaisquer têm a mesma representação módulo
em
, então eles são considerados congruentes módulo
.
Ex: Seja o módulo
Então, para calcular este resto, basta eliminar todos os múltiplos de
contidos em
. Assim, calcula-se o resto por intermédio de uma subtração simplificadora, e não por uma divisão.
Por exemplo, se quero saber o resto da divisão de
por
, basta levar em conta que
O que fizemos aqui, foi apenas substituir o
por
, tendo em vista que
.
Este caso foi bastante simples pois apenas a redução de um dos dígitos (
) facilitou a operação. No entanto, já estamos em condições de, caso seja possível, realizar uma simplificação preliminar em um inteiro, módulo
.
Ex: Tendo em vista que
e
, na divisão por
, o número
deixa o mesmo resto que o número
( confira! ). Já com o número
, com o mesmo divisor
, nada podemos simplificar.
Ex: Tendo em vista que
De modo geral, temos que lidar com as congruências módulo
Exercícios Resolvidos. Calcular o resto da divisão de:
Assim, para
, temos
. Logo, na redução de um número módulo
, só nos interessa os dois últimos dígitos.
Assim, para
, temos
. Logo, todos os dígitos interessam.
Assim, para
, temos
. Logo, na redução de um número módulo
, só nos interessa os três últimos dígitos.
Então a nossa resposta a pergunta: De modo geral, como se calcula o resto
da divisão de um número
por
, sem dividir? Basta usar o critério de divisibilidade específico. Veja mais nos tópicos relacionados a seguir.
Para saber mais:
como ? kk
ResponderExcluir