admitir a raíz racional irredutível
, então
*
é divisor de ![A_m [;A_m;]](http://thewe.net/tex/A_m)
*
é divisor de ![A_0 [;A_0;]](http://thewe.net/tex/A_0)
Demonstração. Sendo
uma raíz racional, temos
Multiplicando por
,
Colocando
em evidência e passando o último termo para o segundo membro,
Observem que, no primeiro membro, temos um produto com o fator
. Haja vista que este resultado é inteiro,
é divisor do segundo membro
. Como
e
são primos entre si ( já que, por hipótese, a raíz
é irredutível ), concluimos que
é divisor de
.
Na igualdade (1) , também podemos colocar
em evidência ( em lugar de
) e passar o primeiro termo para o segundo membro:
De modo análogo, concluimos que
é divisor de
e está completa a demonstração.
Corolário
. Toda raiz inteira não nula de uma equação polinomial de coeficientes inteiros é divisor do último termo
.
De fato, pois, dado a raíz
, com
, podemos fazer
. Assim,
é divisor do último termo
.
Corolário
. Se a equação de coeficientes inteiros
admitir raízes racionais, elas serão necessariamente inteiras e divisores de
.
De fato, pois, como
e se
for raíz, logo
será divisor de
e, portanto
,fazendo com que a raiz racional
seja inteira e consequentemente divisor de
pelo corolário
.
Exercício
. Provar que
é irracional.
Resolução: temos
. Se esta equação tiver raízes racionais, elas serão inteiras e divisor de
. Como nenhum dos divisores
,
,
e
satisfazem a equação, logo
é irracional.
Para isto é necessário uma transformação multiplicativa na equação polinomial.
Transformação multiplicativa. Dizemos que uma equação polinomial
está transformada multiplicativamente em relação à equação polinomial
, quando as raízes
da primeira são múltiplas das raízes
desta última. Assim, temos
Então temos,
, que será substituído em
para obter a transformada
.
Exercício
. Achar a transformada de raízes duplas da equação.
Resolução: Temos que achar uma segunda equação polinomual em
de forma que
. Nesta condição, temos
e, substituindo na equação dada, obtemos
Observem que na equação original é possível a existência de raízes fracionárias. Já na transformada, se existir raízes racionais, elas serão inteiras.
No primeiro exercício ilustramos o método da transformação. Agora vamos usá-la deliberadamente com o objetivo de sondar raízes fracionárias por meio das inteiras, caso existam.
Exercício
. Transformar multiplicativamente a equação
de forma que a transformada não admita raízes fracionárias.
Resolução. Na transformada, os coeficientes devem ser inteiros e o termo de maior grau deve ser
.
Agora é só fazer
e dividir ambos os membros por
para obtermos a transformada
que não admite raízes fracionárias.
Referência bibliográfica: Matemática, Terceiro Ano Colegial, Ary Quintella, Companhia Editora Nacional, São Paulo, 1968.
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