admitir a raíz racional irredutível , então
* é divisor de
* é divisor de
Demonstração. Sendo uma raíz racional, temos
Multiplicando por ,
(1)
Colocando em evidência e passando o último termo para o segundo membro,
Observem que, no primeiro membro, temos um produto com o fator . Haja vista que este resultado é inteiro, é divisor do segundo membro . Como e são primos entre si ( já que, por hipótese, a raíz é irredutível ), concluimos que é divisor de .
Na igualdade (1) , também podemos colocar em evidência ( em lugar de ) e passar o primeiro termo para o segundo membro:
De modo análogo, concluimos que é divisor de e está completa a demonstração.
Corolário . Toda raiz inteira não nula de uma equação polinomial de coeficientes inteiros é divisor do último termo .
De fato, pois, dado a raíz , com , podemos fazer . Assim, é divisor do último termo .
Corolário . Se a equação de coeficientes inteiros
admitir raízes racionais, elas serão necessariamente inteiras e divisores de .
De fato, pois, como e se for raíz, logo será divisor de e, portanto ,fazendo com que a raiz racional seja inteira e consequentemente divisor de pelo corolário .
A prova da irracionalidade de é um caso particular da aplicação do corolário .
Exercício . Provar que é irracional.
Resolução: temos . Se esta equação tiver raízes racionais, elas serão inteiras e divisor de . Como nenhum dos divisores , , e satisfazem a equação, logo é irracional.
Podemos investigar as raízes racionais por intermédio das raízes inteiras.
Para isto é necessário uma transformação multiplicativa na equação polinomial.
Transformação multiplicativa. Dizemos que uma equação polinomial está transformada multiplicativamente em relação à equação polinomial , quando as raízes da primeira são múltiplas das raízes desta última. Assim, temos
, com
Então temos, , que será substituído em para obter a transformada .
Exercício . Achar a transformada de raízes duplas da equação.
Resolução: Temos que achar uma segunda equação polinomual em de forma que . Nesta condição, temos e, substituindo na equação dada, obtemos
Observem que na equação original é possível a existência de raízes fracionárias. Já na transformada, se existir raízes racionais, elas serão inteiras.
No primeiro exercício ilustramos o método da transformação. Agora vamos usá-la deliberadamente com o objetivo de sondar raízes fracionárias por meio das inteiras, caso existam.
Exercício . Transformar multiplicativamente a equação de forma que a transformada não admita raízes fracionárias.
Resolução. Na transformada, os coeficientes devem ser inteiros e o termo de maior grau deve ser .
. Substituindo na equação, temos
Agora é só fazer e dividir ambos os membros por para obtermos a transformada
que não admite raízes fracionárias.
A aplicação estudada é interessante na medida em que podemos achar as raízes fracionárias de uma equação polinomial, calculando as raízes inteiras da transformada, por meio de algum algoritmo.
Referência bibliográfica: Matemática, Terceiro Ano Colegial, Ary Quintella, Companhia Editora Nacional, São Paulo, 1968.
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