ELEMENTOS: 058-O Problema dos Aviões e Outros Problemas/Questões

domingo, 29 de julho de 2012

058-O Problema dos Aviões e Outros Problemas/Questões

$[;1;]$ ) Problema dos Aviões-nível $[;1;]$ . Calcular o menor número de aviões necessários para que um deles dê uma volta completa no planeta, partindo de um aeroporto no Brasil e retornando ao mesmo local no Brasil, nas seguintes condições:

- A capacidade máxima do tanque de cada avião é suficiente para realizar somente meia volta ao planeta;
- É possível realizar o abastecimento entre aviões no ar sem perda de tempo;
- Todos os aviões empregados devem retornar e pousar no mesmo local no Brasil;
- Não é permitido a qualquer avião pousar em qualquer outro local do planeta.

$[;2;]$ ) Problema dos Aviões-nível $[;2;]$ . dada a mesmas condições do problema anterior, calcule o número mínimo de aviões necessários para que um deles dê uma volta completa no planeta, sabendo que todos os aviões decolam rumo a leste e somente podem voar a oeste para voltar a pousar no aeroporto ( ou seja, nenhum avião pode voar em sentido contrário ao avião principal, exceto para retornar ao aeroporto ).

Problemas $[;1;]$ e $[;2;]$ propostos pelo leitor Paulo de Tarso Ramos, de Belo Horizonte / MG.

$[;3;]$ ) Calcular o $[;50^o;]$ número positivo que não deixa resto $[;6;]$ na divisão por $[;9;]$ ou, em outras palavras, calcular o $[;50^o;]$ número positivo não-congruente à $[;6;]$ módulo $[;9;]$ .

$[;4;]$ ) Calcular o $[;100^o;]$ número positivo que não é quadrado perfeito.

$[;5;]$ ) Calcular quantas progressões aritméticas ( $[;PA;]$ ) crescentes podemos formar com $[;3;]$ elementos diferentes ( na mesma $[;PA;]$ ) do conjunto $[;\left{1,2,...,100 \right};]$ . ( ver post 071 ).

$[;6;]$ ) Calcular a fórmula do termo genérico da sequência $[;(0,0,1,0,1,2,0,1,2,3,0,1,2,3,4,0,1...);]$ . (ver post 096 ).

$[;7;]$ ) Seja a sequência cujo termo geral é $[;a_n=\cos(n)+isen(n);]$ , com $[;n;]$ em radianos. Considere o somatório

$[;S_n=\sum_{n=1}^n a_n=\sum_{n=1}^n [\cos(n)+isen(n)]=\sum_{n=1}^n \cos(n)+i.\sum_{n=1}^n sen(n);]$

Mas, $[;a_n=e^{in}=(e^i)^n=e^i.(e^i)^{(n-1)};]$ , ou seja, temos uma $[;PG;]$ com $[;a_1=e^i;]$ e $[;q=e^i;]$ .

$[;a);]$ Na soma $[;S_n;]$ , é correto utilizar a fórmula conhecida $[;S_n=a_1\frac{(q^n-1)}{(q-1)};]$ ?

$[;b);]$ Caso a resposta de $[;a);]$ seja positiva, temos então

$[;S_n=e^i\frac{[(e^i)^n-1]}{(e^i-1)};]$

Agora como colocar $[;S_n;]$ no formato $[;a+bi;]$ de forma que possamos obter os somatórios $[;\sum_{n=1}^n \cos(n);]$ e $[;\sum_{n=1}^n sen (n);]$ nos moldes do corolário $[;II;]$ do post 029 ?

$[;8;]$ ) Considerem dois tanques de água $[;A;]$ e $[;B;]$ , de mesma profundidade. $[;A;]$ é colocado no planeta Terra e $[;B;]$ no planeta Saturno. ( aceleração da gravidade do segundo maior do que o primeiro ). No fundo de cada tanque, existe um idêntico bloco de madeira preso. Simultâneamente os blocos são desprendidos e, pelo empuxo de Arquimedes, os mesmos subirão até às superfícies de água dos respectivos tanques. Em qual tanque o bloco chegará primeiro à superfície e porque? - questão respondida brilhantemente pelo professor de Física Jairo Grossi, do blog INFRAVERMELHO. Ver comentário abaixo. O blog ELEMENTOS agradece a valorosa colaboração.

Imagens:

http://www.infoaviacao.com/2010_06_16_archive.html
http://wwwbeckynha.blogspot.com.br/2012/05/estreia-no-blog-saturno-nao-e-o-unico.html
http://www.webciencia.com/04_terra.htm

12 comentários:

Jairo Grossi29 de julho de 2012 às 13:58
Olá Aloísio.

Vamos pensar na questão 8.
Primeiramente vou nominar as variáveis envolvidas.

Pt = Peso na Terra
Ps = Peso em Saturno
Et = Empuxo na Terra
Es = Empuxo em Saturno
m = massa do bloco
gt = gravidade na Terra
gs = gravidade em Saturno
V = Volume do bloco
da = densidade da água
db = densidade do bloco

Situação A

Pt = m.gt = db.V.gt
Et = da.V.gt

Como o bloco sobe, conclui-se que sua densidade seja menos do que o da água. A força resultante (Fr) é:
FrA = Et - Pt = da.V.gt - db.V.gt =
=(da - db)V.gt (Eq I)

Situação B

Vamos considerar que a gravidade de Saturno é 10 vezes maior do que a da Terra: gs =10.gt

Ps = m.gs = db.V.gs
Es = da.V.gs

A Força resultante é:
FrB = Es - Ps = da.V.gs - db.V.gs =
=(da - db).V.gs = (da -db).V.10.gt (Eq.II)

Comparando as Eq.I com Eq.II, chegamos à conclusão de que a força resultante na situação B(Saturno) é 10 vezes maior do que na situação A (Terra). Sendo assim, a aceleração de subida em Saturno é 10 vezes maior. Assim sendo, em Saturno o bloco chegará antes a superfície.
Confere, ou errei em alguma coisa?
ResponderExcluir
Respostas
Jairo Grossi29 de julho de 2012 às 22:52
Aloisio:
Achei mesmo interessante. É quase uma pegadinha. Uma pessoa na pressa pode cometer o engano de achar que como o peso do bloco é maior em Saturno, o bloco subiria mais lentamente. Ocorre que o Empuxo também é diretamente proporcional à gravidade do planeta, e portanto esta força que puxa os corpos submersos para cima também aumenta em Saturno.
Abraço, e parabéns pela proposta destes problemas.
ResponderExcluir
Respostas
Aloisio Teixeira29 de julho de 2012 às 23:21
Oi, Jairo,

Há de se fazer uma ressalva. Das duas uma: dependendo da densidade e em um planeta de maior gravidade, ou o bloco sobe ou DESCE mais rápido ( caso esteja inicialmente na superfície ).
ResponderExcluir
Respostas
Kleber Kilhian30 de julho de 2012 às 21:34
Oi Aloísio. Entrei no seu blog agora para ver esta questão 8... e para minha surpresa já temos uma aula de Física. A minha ideia inicial confere com a resposta em que em Saturno chegaria primeiro, mas o Jairo deu uma aula aqui. Eu não saberia resolver desta forma. Ótima questão.
ResponderExcluir
Respostas
Francisco Valdir31 de julho de 2012 às 08:52
Olá, Aloísio!!!!

Fiquei esperando a sua confirmação quanto ao acerto da questão 8, segundo a solução e aula de física, do nosso amigo e parceiro Jairo Grossi!!!! Caso ele não estivesse acertado, então eu já estaria avisado que esse problema era mais um do tipo que eu e o Kleber lançamos e já apresentamos a sua solução, o... TECNOLOGIA EXTRATERRESTRE, lembra? Como o Jairo já matou essa, eu passei a procurar a solução para a as questões sobre os aviões!!!! Bom, tanto para a questão #1 e de #2, eu digo que... são precisos um conjunto de 7 aeronaves???? E aí, acertei a quantidade????

Um abraço!!!!!
ResponderExcluir
Respostas
Aloisio Teixeira31 de julho de 2012 às 12:26
Oi, Valdir!

Pois, é, gosto bastante destas questões que extrapolam o cotidiano.

Claro que lembro da questão TECNOLOGIA EXTRATERRESTRE e sua curiosíssima solução!!

Relativo ao problema dos aviões, digo que o de nível 1 são necessário apenas três aviões... ( agora o seu desafio é montar o quebra-cabeças, rs ).

Outro abraço!
ResponderExcluir
Respostas
Francisco Valdir1 de agosto de 2012 às 14:58
Olá, Aloísio!!!!
Não brinca!!!! Somente três aviões???? caramba!!!! Uma pergunta... qualquer avião poderá receber mais do que a quantidade de combustível normal????
Um abraço!!!!!
ResponderExcluir
Respostas

Adicionar comentário

Páginas

domingo, 29 de julho de 2012

058-O Problema dos Aviões e Outros Problemas/Questões

12 comentários:

V.O