terça-feira, 31 de julho de 2012

059-As Identidades de Newton



A quarta obra de Isaac Newton ([;1642-1727;]), Arithmetica Universalis, com a primeira edição publicada em [;1707;], contém o que hoje conhecemos como Identidades de Newton. São fórmulas que servem para calcular, recursivamente, a soma [;S_k;] das potências [;k;]-ésimas das raízes [; \left(S_k=x_1^k+x_2^k+...+x_m^k \right);] da equação polinomial

[;A_0x^m+A_1x^{m-1}+...+A_{m-1}x+A_m=0;] (1)

Estas identidades são uma generalização de um trabalho anterior do matemático francês Albert Girard ( [;1595-1632;] ) que mostrou, em [;1629;],  como calcular as somas dos quadrados, dos cubos e das quartas potências das raízes de (1), fazendo uso de suas relações ( relações de Girard ). Com sua habitual capacidade de generalização, Newton usou suas identidades para estender o método para cobrir todas as potências inteiras ( [;k \in \mathbb{Z};] ).

Identidades de Newton. Sejam [;x_1, x_2,...,x_m;] ( ver post 022 ) as raízes da equação (1). Seja também [;S_k;] a soma das [;k;]-ésimas potências destas raízes. As referidas identidades apresentam-se nas três formas a seguir demonstradas:

Primeira forma - Expoente igual ao grau da equação.

Se [;k=m;], então

[;A_0S_k+A_1S_{k-1}+...+A_{m-1}S_1+k.A_m=0;]

Demonstração.  Utilizando todas as raízes na equação (1), temos

[;A_0x_1^m+A_1x_1^{m-1}+...+A_{m-1}x_1+A_m=0;]

[;A_0x_2^m+A_1x_2^{m-1}+...+A_{m-1}x_2+A_m=0;]
.....................................................................................

[;A_0x_m^m+A_mx_m^{m-1}+...+A_{m-1}x_m+A_m=0;]

Somando as colunas de mesma potência, obtemos

[;A_0S_m+A_1S_{m-1}+...+A_{m-1}S_1+m.A_m=0;] , ou

[;A_0S_k+A_1S_{k-1}+...+A_{m-1}S_1+k.A_m=0;]


Segunda forma - Expoente maior que o grau da equação.

 Se [;k>m;], então

[;A_0S_k+A_1S_{k-1}+...+A_{m-1}S_{k-(m-1)}+A_mS_{k-m}=0;]

Demonstração. Multiplicando a equação [;A_0x^m+A_1x^{m-1}+...+A_{m-1}x+A_m=0;] por [;x^j;], com [;j=1,2,...,j^';], temos

[;A_0x^{j+m}+A_1x^{j+m-1}+...+A_{m-1}x^{j+1}+A_mx^j=0;]

Agora, utilizando todas as raízes [;x_1, x_2,...,x_m;] da equação,

[;A_0x_1^{j+m}+A_1x_1^{j+m-1}+...+A_{m-1}x_1^{j+1}+A_mx_1^j=0;]

[;A_0x_2^{j+m}+A_1x_2^{j+m-1}+...+A_{m-1}x_2^{j+1}+A_mx_2^j=0;]
..................................................................................................

[;A_0x_m^{j+m}+A_1x_m^{j+m-1}+...+A_{m-1}x_m^{j+1}+A_mx_m^j=0;]

Somando as colunas de mesma potência,

[;A_0S_{j+m}+A_1S_{j+m-1}+...+A_{m-1}S_{j+1}+A_mS_j=0;] 

Finalmente, fazendo [;j+m=k;] ,

[;A_0S_k+A_1S_{k-1}+...+a_{m-1}S_{k-(m-1)}+A_mS_{k-m}=0;]


Terceira forma - Expoente menor que o grau da equação.

Se [;k<m;], então

[;A_0S_k+A_1S_{k-1}+...+A_kS_0+A_{k+1}S_{k-1}+...+A_mS_{k-m}=0;] 

Demonstração. Multiplicando a equação [;A_0x^m+A_1x^{m-1}+...+A_{m-1}x+A_m=0;] por [;1/x^j;], com [;j=1,2,...,j^';],

[;A_0x^{m-j}+A_1x^{(m-1)-j}+...+A_{m-1}x^{1-j}+A_mx^{-j}=0;]

Utilizando todas as raízes [;x_1, x_2,...,x_m;] da equação no resultado acima,

[;A_0x_1^{m-j}+A_1x_1^{(m-1)-j}+...+A_{m-1}x_1^{1-j}+A_mx_1^{-j}=0;]

[;A_0x_2^{m-j}+A_1x_2^{(m-1)-j}+...+A_{m-1}x_2^{1-j}+A_mx_2^{-j}=0;]
..................................................................................................

[;A_0x_m^{m-j}+A_1x_m^{(m-1)-j}+...+A_{m-1}x_m^{1-j}+A_mx_m^{-j}=0 ;] 

Somando as colunas de mesma potência,

[;A_0S_{m-j}+A_1S_{(m-1)-j}+...+A_{m-1}S_{1-j}+A_mS_{-j}=0 ;]

E fazendo, [;m-j=k;], resulta em

[;A_0S_k+A_1S_{k-1}+...+A_{m-1}S_{1-(m-k)}+A_mS_{-(m-k)}=0;] ou 

[;A_0S_k+A_1S_{k-1}+...+A_kS_0+A_{k+1}S_{k-1}+...+A_mS_{k-m}=0;]

_*_ 

As identidades de Newton são usadas em conexão com as relações de Girard. Antes de passar para os exercícios resolvidos, segue um lembrete sobre estas relações.

As Relações de Girard relacionam os coeficientes [;A_0,A_1,...,A_m;] com as raízes [;x_1,x_2,...,x_m;] da equação

[;A_0x^m+A_1x^{m-1}+...+A_{m-1}x+A_m=0;]

conforme a seguir:
[;x_1+x_2+...+x_m=\frac{-A_1}{A_0};] 

[;x_1x_2+x_1x_3+...+x_{m-1}x_m=\frac{A_2}{A_0};]

[;x_1x_2x_3+...+x_{m-2}{m-1}{x_m}=-\frac{A_3}{A_0};]

..............................................................

[;x_1x_2...x_m=(-1)^m\frac{A_m}{A_0};]


Assim, para uma equação cúbica [;A_0x^3+A_1x^2+A_2x+A_3=0;] com raízes [;x_1;], [;x_2;] e [;x_3;], temos

[;x_1+x_2+x_3=\frac{-A_1}{A_0};] 

[;x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{A_2}{A_0};] 

[;x_1x_2x_3=-\frac{A_3}{A_0};]

Como consequência, [;\frac{1}{x_1}+ \frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3}{x_1x_2x_3}=\frac{A_2/A_0}{-A_3/A_0}=-\frac{A_2}{A_3};]

Portanto, conforme nossa notação [;S_k=x_1^k+x_2^k+x_3^k;] , já temos, inicialmente, para a equação cúbica
[;S_1=-\frac{A_1}{A_0};]
e
[;S_{-1}=-\frac{A_2}{A_3^};]


Exercícios Resolvidos. Dado a equação [;x^3-7x^2+3x-1=0;] calcular:

Exercício [;1;] : A soma dos quadrados das raízes.

Resolução: Temos então, [;A_0=1;], [;A_1=-7;], [;A_2=3;] e [;A_3=-1;] .

Veja que o expoente [;k=2;] é menor que o grau [;m=3;] da equação. Utilizaremos, então, a terceira forma da identidade:


 [;A_0S_k+A_1S_{k-1}+...+A_kS_0+A_{k+1}S_{k-1}+...+A_mS_{k-m}=0;] 

ou

[;1.S_2-7.S_1+3.S_0-1.S_{-1}=0;] 

Nosso objetivo é calcular [;S_2;] por intermédio de [;S_1;] ,[;S_0;] e [;S_{-1};]. Vamos calcular estas somas. 

[;S_1=-\frac{A_1}{A_0}=-\frac{-7}{1}=7;]

[;S_0=x_1^0+x_2^0+x_3^0=1+1+1=3;] 

[;S_{-1}=-\frac{A_2}{A_3}=-\frac{3}{-1}=3;] 

Substituindo na identidade: [;S_2-7(7)+3(3)-(3) \Rightarrow S_2=43;] 

Resposta. A soma dos quadrados das raízes da equação dada é [;43;].


Exercício [;2;]. A soma dos cubos das raízes.

Resolução. Agora o expoente [;k=3;] é igual ao grau [;m=3;] da equação. Assim, faremos uso da primeira forma da identidade:


 [;A_0S_k+A_1S_{k-1}+...+A_{m-1}S_1+k.A_m=0;]

ou

[;1.S_3-7.S_2+3.S_1+3(-1)=0;] 


Pelo exercício [;1;] já temos [;S_2=43;] e [;S_1=7;]. Substituindo,

[;S_3-7(43)+3(7)-3=0 \Rightarrow S_3=283;]

Resposta. A soma dos cubos das raízes da equação dada é [;283;].


Exercício [;3;]  A soma das quintas potências das raízes.

Resolução. O expoente [;k=5;] é maior que o grau [;m=3;] da equação. Verificada a condição [;k>m;], pegamos a segunda forma da identidade.

[;A_0S_k+A_1S_{k-1}+...+A_{m-1}S_{k-(m-1)}+A_mS_{k-m}=0;]

Queremos [;S_5;]. Mas como ainda não temos [;S_4;], vamos utilizá-la duas vezes:

[;1.S_4-7.S_3+3.S_2-1.S_1=0;] (1)

[;1.S_5-7.S_4+3.S_3-1.S_2=0;] (2)

Na identidade (1), substituindo [;S_3=283;], [;S_2=43;] e [;S_1=7;],  calculados anteriormente, temos

[;S_4-7(283)+3(43)-1(7)=0 \Rightarrow S_4=1859;] 

Na identidade (2), substituindo [;S_4=1859;], [;S_3=283;] e [;S_2=43;], temos

[;S_5-7(1859)+3(283)-1(43)=0 \Rightarrow S_5=12207;]

Resposta. A soma das quintas potências das raízes da equação dada é [;12207;].


Exercício [;4;] . Calcular a soma das [;2012^a;] potências das raízes da equação [;x^{2012}+1971x-40=0;] 

Resolução. Usaremos a primeira forma da identidade ( pois, [;k=m=2012;] ).

[;A_0S_k+A_1S_{k-1}+...+A_{m-1}S_1+k.A_m=0;]

ou

[;1.S_{2012}+0+...+0+1971.S_1+2012(-40)=0;]

Como [;S_1=0;], logo[;S_{2012}=-2012(-40)=80480;]

 Resposta. A soma das [;2012^a;] potências das raízes da equação [;x^{2012}+1971x-40=0;] é [;80480;].


Referência Bibliográfica:

-Matemática Em Nível IME / ITA, Volume [;1;]: Números Complexos e Polinômios, Caio dos Santos Guimarães, Editora Vestseller, 2008;
-História da Matemática, Carl B. Boyer, Editora Edigard Blücher LTDA,  1974;
-Matemática-Terceiro Ano Colegial, Ary Quintella, Companhia Editora Nacional, 1968.

Referência na net:

http://hugocito.wordpress.com/2012/06/24/65/
http://www.vestseller.com.br/detalhamento.asp?produto_id=63

Gostará de saber também:

Imagem: http://vleeptronz.blogspot.com.br/2006/10/newtons-pure-math-arithmetica.html


7 comentários:

  1. Aloisio, não consigo entender o fim da demonstração da primeira parte. De onde segue a ultima linha dessa demonstração, a que está dizendo que A_0.S_k+...+k.A_k=0. Não consigo ver a explicação disso e é exatamente ai que surgia o problema em minhas tentativas de demonstrar essa identidade. Obrigado pela atenção e pelo post, excelente como sempre.

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    1. Oi, Hugo Botós!!

      Obrigado pelo sutil advertência, rs.

      Não é a toa que não tinha ficado claro a demonstração da primeira parte das identidades: a hipótese estava errada!

      O certo é "Se k=m" no lugar de "Se 0=<k=<m" ( relativo à primeira forma ).

      Agora, com a correção, fica fácil perceber a transição da penúltima para a última linha da demonstração. E, com isso, fica mais coerente a resolução dos exercícios resolvidos.

      Queria de novo te agradecer pela sua versão da demonstração no seu blog. Foi ali que tive uma luz sobre o assunto.

      Acrescentei suas referências ao final do artigo ( sabia que tinha esquecido de alguma coisa! ).

      Valeu!

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    2. Agora tudo faz sentido. Adorei os seus exemplos. Vou ver se arrumo alguns mais e te envio. Obrigado pela referência.

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  2. Olá Aloísio, estava preparando um material sobre o assunto, mas estava com problemas na forma de organizá-lo. A sua apresentação ficou muito, dispensando a minha apresentação sobre o assunto. Parabéns!

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    1. Oi, Paulo!

      Obrigado!

      Mas não teria feito desse jeito se não fosse a dica do Hugo.

      Um abraço!

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