A quarta obra de Isaac Newton (), Arithmetica Universalis, com a primeira edição publicada em , contém o que hoje conhecemos como Identidades de Newton. São fórmulas que servem para calcular, recursivamente, a soma das potências -ésimas das raízes da equação polinomial
(1)
Estas identidades são uma generalização de um trabalho anterior do matemático francês Albert Girard ( ) que mostrou, em , como calcular as somas dos quadrados, dos cubos e das quartas potências das raízes de (1), fazendo uso de suas relações ( relações de Girard ). Com sua habitual capacidade de generalização, Newton usou suas identidades para estender o método para cobrir todas as potências inteiras ( ).
Identidades de Newton. Sejam ( ver post 022 ) as raízes da equação (1). Seja também a soma das -ésimas potências destas raízes. As referidas identidades apresentam-se nas três formas a seguir demonstradas:
Primeira forma - Expoente igual ao grau da equação.
Se , então
Demonstração. Utilizando todas as raízes na equação (1), temos
.....................................................................................
Somando as colunas de mesma potência, obtemos
, ou
Segunda forma - Expoente maior que o grau da equação.
Demonstração. Multiplicando a equação por , com , temos
_*_
Queremos . Mas como ainda não temos , vamos utilizá-la duas vezes:
Se , então
Agora, utilizando todas as raízes da equação,
..................................................................................................
Somando as colunas de mesma potência,
Finalmente, fazendo ,
Terceira forma - Expoente menor que o grau da equação.
Se , então
Demonstração. Multiplicando a equação por , com ,
Utilizando todas as raízes da equação no resultado acima,
..................................................................................................
Somando as colunas de mesma potência,
E fazendo, , resulta em
ou
_*_
As identidades de Newton são usadas em conexão com as relações de Girard. Antes de passar para os exercícios resolvidos, segue um lembrete sobre estas relações.
As Relações de Girard relacionam os coeficientes com as raízes da equação
conforme a seguir:
..............................................................
Assim, para uma equação cúbica com raízes , e , temos
Como consequência,
Portanto, conforme nossa notação , já temos, inicialmente, para a equação cúbica
e
Exercícios Resolvidos. Dado a equação calcular:
Exercício : A soma dos quadrados das raízes.
Resolução: Temos então, , , e .
Veja que o expoente é menor que o grau da equação. Utilizaremos, então, a terceira forma da identidade:
ou
Nosso objetivo é calcular por intermédio de , e . Vamos calcular estas somas.
Substituindo na identidade:
Resposta. A soma dos quadrados das raízes da equação dada é .
Exercício . A soma dos cubos das raízes.
Resolução. Agora o expoente é igual ao grau da equação. Assim, faremos uso da primeira forma da identidade:
ou
Pelo exercício já temos e . Substituindo,
Resposta. A soma dos cubos das raízes da equação dada é .
Exercício A soma das quintas potências das raízes.
Resolução. O expoente é maior que o grau da equação. Verificada a condição , pegamos a segunda forma da identidade.
(1)
(2)
Na identidade (1), substituindo , e , calculados anteriormente, temos
Na identidade (2), substituindo , e , temos
Resposta. A soma das quintas potências das raízes da equação dada é .
Exercício . Calcular a soma das potências das raízes da equação
Resolução. Usaremos a primeira forma da identidade ( pois, ).
ou
Como , logo
Resposta. A soma das potências das raízes da equação é .
Referência Bibliográfica:
-Matemática Em Nível IME / ITA, Volume : Números Complexos e Polinômios, Caio dos Santos Guimarães, Editora Vestseller, 2008;
-Matemática Em Nível IME / ITA, Volume : Números Complexos e Polinômios, Caio dos Santos Guimarães, Editora Vestseller, 2008;
-História da Matemática, Carl B. Boyer, Editora Edigard Blücher LTDA, 1974;
-Matemática-Terceiro Ano Colegial, Ary Quintella, Companhia Editora Nacional, 1968.
Referência na net:
http://hugocito.wordpress.com/2012/06/24/65/
http://www.vestseller.com.br/detalhamento.asp?produto_id=63
Referência na net:
http://hugocito.wordpress.com/2012/06/24/65/
http://www.vestseller.com.br/detalhamento.asp?produto_id=63
Gostará de saber também:
Imagem: http://vleeptronz.blogspot.com.br/2006/10/newtons-pure-math-arithmetica.html
Aloisio, não consigo entender o fim da demonstração da primeira parte. De onde segue a ultima linha dessa demonstração, a que está dizendo que A_0.S_k+...+k.A_k=0. Não consigo ver a explicação disso e é exatamente ai que surgia o problema em minhas tentativas de demonstrar essa identidade. Obrigado pela atenção e pelo post, excelente como sempre.
ResponderExcluirOi, Hugo Botós!!
ExcluirObrigado pelo sutil advertência, rs.
Não é a toa que não tinha ficado claro a demonstração da primeira parte das identidades: a hipótese estava errada!
O certo é "Se k=m" no lugar de "Se 0=<k=<m" ( relativo à primeira forma ).
Agora, com a correção, fica fácil perceber a transição da penúltima para a última linha da demonstração. E, com isso, fica mais coerente a resolução dos exercícios resolvidos.
Queria de novo te agradecer pela sua versão da demonstração no seu blog. Foi ali que tive uma luz sobre o assunto.
Acrescentei suas referências ao final do artigo ( sabia que tinha esquecido de alguma coisa! ).
Valeu!
Agora tudo faz sentido. Adorei os seus exemplos. Vou ver se arrumo alguns mais e te envio. Obrigado pela referência.
ExcluirOlá Aloísio, estava preparando um material sobre o assunto, mas estava com problemas na forma de organizá-lo. A sua apresentação ficou muito, dispensando a minha apresentação sobre o assunto. Parabéns!
ResponderExcluirOi, Paulo!
ExcluirObrigado!
Mas não teria feito desse jeito se não fosse a dica do Hugo.
Um abraço!
Parabéns cara. Bom conteúdo.
ResponderExcluirObrigado você pela visita, Italo!
ExcluirEu vi esse site aqui no meu favorito e vim visitar para lembrar dele kkk mas ao chegar aqui as imagens não aparece, estão indisponível. Não sei se é problema em meu computador ou se é alguma coisa a ver com o site. Achei melhor avisar-lhe sobre isso. Abraços
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