ELEMENTOS: 060-O Teorema Fundamental da Aritmética

Os átomos estão para a natureza, assim como os primos estão para os naturais.

Seja $[;p \in \mathbb{N};]$ , com $[;p>1;]$ . $[;p;]$ é chamado de primo se seus únicos divisores positivos são $[;1;]$ e $[;p;]$ .

Um inteiro $[;n;]$ que tem mais de dois divisores positivos é chamado de número composto.

Os números compostos levam este nome porque suas unidades básicas são os números primos, relativo a operação de multiplicação, conforme o teorema a seguir.

Teorema Fundamental da Aritmética. Qualquer número natural $[;n>1;]$ é primo ou pode ser decomposto ( fatorado ) de uma única forma em fatores primos.

DEMONSTRAÇÃO

Primeira parte. Existência da decomposição

Usaremos o princípio da indução matemática. Se $[;n;]$ for primo, nada há a demonstrar. Considere, então, $[;n;]$ composto. Neste caso, o menor valor onde o teorema se verifica válido é $[;n_0=4=2.2;]$ . Suponhamos que o teorema também seja válido para todos os números maiores que $[;4;]$ e menores que $[;n;]$ . Como este é composto, existem $[;a;]$ e $[;b;]$ $[;\in \mathbb{N};]$ , onde $[;1 < a,b < n;]$ , tais que $[;n=ab;]$ . Mas, como $[;a;]$ e $[;b;]$ são menores que $[;n;]$ , e por hipótese de indução, existem primos $[;r_1,r_2,...,r_t,q_1,q_2,...,q_s;]$ de forma que

$[;a=r_1.r_2...r_t;]$ e $[;b=q_1q_2...q_s;]$

Logo, $[;n=ab=r_1r_2...r_tq_1q_2...q_s;]$

ou seja, $[;n;]$ também pode ser decomposto em fatores primos, como queríamos provar.

Segunda parte. Unicidade da decomposição.

Usaremos a redução ao absurdo. Suponhamos que o número $[;n;]$ admita duas decomposições diferentes.Sejam elas:

$[;n=p_1.p_2...p_k;]$ (1)

$[;n=q_1.q_2...q_r;]$ (2)

Vamos supor, também, que $[;r \geq k;]$ . Assim,

$[;p_1p_2...p_k=q_1q_2...q_r \Rightarrow p_2...p_k=\frac{q_1q_2...q_r}{p_1};]$

Concluímos que $[;p_1;]$ deve ser algum dos fatores $[;q_i;]$ . Cancelando estes fatores comuns, temos

$[; p_2...p_k=q_1q_2...q_{r-1};]$

Prosseguindo com a mesma lógica,

$[;p_3...p_k=\frac{q_1q_2...q_{r-1}}{p_2} \Rightarrow ;]$

$[;p_3...p_k=q_1q_2...q_{r-2};]$ , etc

Portanto, para cada $[;p_j;]$ do primeiro membro, vamos ter um $[;q_i;]$ do segundo membro onde $[;p_j=q_i;]$ . Podemos, então reescrever (2) da seguinte maneira:

$[;n=p_1.p_2...p_kq_jq_{j+1}...q_{j+m};]$

Mas, dividindo (2) por (1), temos $[;1=q_jq_{j+1}...q_{j+m};]$ , um absurdo. Mas não seria se em (1) e (2) se verificasse $[;k=r;]$ ( mesma quantidade de primos ) e $[;p_i=q_i;]$ ( igualdade dos primos correspondentes ). Logo, a decomposição de $[;n;]$ em fatores primos é única.

APÊNDICE - Resposta dos exercícios propostos do post 043.

Todas as equações ( tipo $[;a^n+b^n=c;]$ , com $[;a>b;]$ ) a seguir admitem soluções inteiras. Para achar as mesmas, usamos a fórmula

$[;u=log_a(c-1)=\frac{ln (c-1)}{ln a};]$ ,

onde a raíz $[;n=[u];]$ é a parte inteira de $[;u;]$ .

$[;1);]$ Resolver a equação em, $[;U= \mathbb{N}^*;]$ , $[;10^n+5^n=125;]$

Resolução: $[;a=10;]$ , $[;b=5;]$ e $[;c=125;]$

$[;u=log_a(c-1)=log_{10} (125-1)=log_{10} 124 \approx 2,09 \Rightarrow n=[2,09]=2;]$

$[;2);]$ Resolver a equação em $[;U= \mathbb{N}^*;]$ , $[;6^n+5^n=1921;]$ .

Resolução: $[;a=6;]$ , $[;b=5;]$ e $[;c=1921;]$

$[;u=log_a(c-1)=log_{6} (1921-1)=log_{6} 1920 = \frac{ln 1920}{ln 6} \approx 4,21 \Rightarrow n=[4,21]=4;]$

$[;3);]$ Resolver a equação em $[;U= \mathbb{N}^*;]$ , $[;8^n+3^n=33011;]$ .

Resolução: $[;a=8;]$ , $[;b=3;]$ e $[;c=33011;]$

$[;u=log_a(c-1)=log_{8} (33011-1)=log_{8} 33010 = \frac{ln 33010}{ln 8} \approx 5,003 \Rightarrow n=[5,003]=5;]$

Observação: podemos aplicar este método em equações polinomiais ( veja nos comentários do post 043 ).

Referência Bibliográfica

Teoria dos Números, de Salahoddim Shokranian, Marcus Soares e Hemar Godinho; Editora UNB, 1999;
Fundamentos de Matemática Elementar-Logaritmos (2), Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce e Carlos Murakami, Atual Editora, 1996.

Gostará de ler também:

022-O Teorema Fundamental da Álgebra
043-Equação Exponencial Especial

Imagem: http://bioblog-info.blogspot.com.br/2012/02/atomo.html

5 comentários:

Prof. Paulo Sérgio2 de agosto de 2012 às 13:30
Olá Aloisio, achei interessante o seu método de resolver estas equações, mas aplicando para a equação 5^n + 8^n = 35893 encontramos n = 6 como resposta, mas o correto é n = 5. O que está havendo?
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Aloisio Teixeira2 de agosto de 2012 às 13:47
Oi, Paulo!

Em [;a^n+b^n=c;], o método funciona com a condição [;a>b;]. Tente de novo com [;8^n+5^n=35893;].
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Prof. Paulo Sérgio2 de agosto de 2012 às 20:40
Não li em detalhes a teoria. Obrigado pela correção.
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Kleber Kilhian3 de agosto de 2012 às 23:19
Olá Aloísio,

Que interessante. Fiz algumas simulações com números grandes e funciona bem esse método para encontrar os expoentes. Muito legal.
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Aloisio Teixeira4 de agosto de 2012 às 07:09
Obrigado, Kleber! ´Na demonstração usei intervalos. O que seria da matemática se não fosse eles? Rs
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quinta-feira, 2 de agosto de 2012

060-O Teorema Fundamental da Aritmética

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V.O