terça-feira, 4 de setembro de 2012

067-Progressão Geométrica de Segunda Ordem

"Não existe nenhum ramo da matemática,
 por mais abstrato que seja, que não possa um dia
 ser aplicado à fenômenos do mundo real" 

 Nicolai Lobachevsky.


Definição

Considere a sequência [;A;]( [;a_1,a_2,...,a_n;] ) onde as razões de seus termos consecutivos formam a sequência [;B;]( [;b_1,b_2,...,b_n;] ), conforme a seguir:

[;a_1;],           [;a_2;],         [;a_3;] ,      [;a_4;],...,[;a_{n-1};]          [;a_n;]
  [;b_1;],          [;b_2;],         [;b_3;],...                ...,[;b_n;]

Ou seja,

[;b_1=\frac{a2}{a1};]

[;b_2=\frac{a_3}{a_2};]

[;b_3=\frac{a_4}{a_3};]
 [;..........................;] 

[;b_n=\frac{a_n}{a_{n-1}};]

Se a sequência [;B;] for uma Progressão Geométrica ([;PG;]), de primeiro termo [;b_1;],  razão [;q;] e termo genérico [;b_n=b_1q^{n-1};], então a sequência [;A;] é definida como progressão geométrica de segunda ordem [[;PG(2);] ].


Fórmula do Termo Geral

Conforme a definição, temos

[;a_2=a_1b_1=a_1^1b_1^1q^0;]

[;a_3=a_2b_2=(a_1b_1)(b_1q)=a_1b^2_1q^1;]

[;a_4=a_3b_3=(a_1b^2_1q)(b_1q^2)=a_1b^3_1q^3;]

[;a_5=a_4b_4=(a_1b_1^3q^3)(b_1q^3)=a_1b_1^4q^6;]

Prosseguindo com estes cálculos, perceberemos que as potências de [;b_1;] são[;1,2,3,4,...,{n-1 \choose 1;] e as potências de [;q;] são [;0,1,3,6,...,{n-1 \choose 2};]. Convenciona-se que, se [;0 \leq m < p;], temos [;{m \choose p}=0;]. Logo,

[;a_n=a_1b_1^{{n-1 \choose 1}}q^{{n-1 \choose 2}};]

Aqui, podemos dizer que [;q_1=b_1;] é a primeira razão e [;q_2=q;] é a segunda razão da  [;PG(2);].
Observação. Na expressão acima de [;a_n;], as combinações [;n-1 \choose 1;]  e [;n-1 \choose 2;] são expoentes, mas parecem que estão multiplicando [;b_1;] e [;q;], respectivamente. Para corrigir esta ambigüidade, substituirei pelas formas equivalentes [;{n-1 \choose 1}=(n-1;1);][;{n-1 \choose 2}=(n-1;2);]. Assim,

[;a_n=a_1q_1^{(n-1;1)}q_2^{(n-1;2)};]

As razões da [;PG(2);] ( [;a_1,a_2, a_3,...,a_n;])  ficam determinadas com os seus três primeiros termos, pois temos

[;q_1=\frac{a_2}{a_1};]

[;q_2=\frac{b_2}{b_1}=\frac{\frac{a_3}{a_2}}{\frac{a_2}{a_1}}=\frac{a_3}{a_2}.\frac{a_1}{a_2} \Rightarrow;] 

[;q_2=\frac{a_1a_3}{a_2^2};]



Exercícios Resolvidos


[;1;]) Verificar se a sequência finita [;(5,15,315,46305);] é uma progressão geométrica de segunda ordem.

Resolução. Calculando as razões dos termos consecutivos, obtemos

            [;5;]      [;15;]     [;315;]     [;46305;] 
     [;3;]       [;21;]      [;147;] 
[;7;]        [;7;]
Como a última sequência [;(7,7);] resultou em uma sequência constante, logo a penúltima [;(3,21,147);] sequência é uma progressão geométrica ordinária ( ou de primeira ordem ). Deste modo, a primeira sequência [;(5,15,315,46305);] é uma progressão geométrica de segunda ordem.



[;2;]) Sabendo que a sequência [;(2,6,36,...);] é uma [;PG(2);], calcule a fórmula do termo geral.

Resolução. O termo genérico é [;a_n=a_1q_1^{(n-1;1)}q_2^{(n-1;2)};] . Aqui temos [;a_1=2;] , [;a_2=6;] e [;a_3=36;]. Portanto,
[;q_1=\frac{a_2}{a_1}=\frac{6}{2}=3;]

[;q_2=\frac{a_1a_3}{a_2^2}=\frac{2.36}{6^2}=2;]

E a fórmula do termo geral fica
[;a_n=2.3^{(n-1;1)}2^{(n-1;2);]  



[;3;] Sabendo que a sequência [;(1,2,3,...);] é uma [;PG(2);], calcule o valor do [;4^o;] termo.

Resolução. Dados: [;a_1=1;], [;a_2=2;], [;a_3=3;], [;a_4=;]?

[;q_1=\frac{a_2}{a_1}=\frac{2}{1}=2;]

[;q_2=\frac{a_1a_3}{a_2^2}=\frac{1.3}{2^2}=\frac{3}{4};]

Logo, [;a_n=2^{(n-1;1)}\left(\frac{3}{4}\right)^{(n-1;2)};]
e

[;a_4=2^{(3;1)}\left(\frac{3}{4}\right)^{(3;2)}=2^3\left(\frac{3}{4}\right)^3=8.\frac{27}{64}=\frac{27}{8}=3,375;]


Produto dos [;n;] primeiros termos

Seja [;a_n;] o termo genérico de uma [;PG(2);] de primeiro termo [;a_1;]  e razões [;q_1;] e [;q_2;].

Seja também [;\Pi_n=a_1.a_2....a_n;] o produto dos [;n;] primeiros termos desta sequência.

Usando o conceito de integral geométrica, de minha autoria, publicado neste blog no post 012 , de 28 de janeiro de 2012, podemos demonstrar que

[;\Pi_n= a_1^{(n;1)}q_1^{(n;2)}q_2^{(n;3)};]


Soma dos [;n;] primeiros termos

Este é uma questão que deixarei  em aberto aos leitores entusiásticos, mesmo porque até hoje não consegui encontrar a fórmula da soma dos [;n;] primeiros termos de uma progressão geométrica de ordem superior a [;1;] . Quem encontrar, terá o poder de somar um sem número de séries infinitas de origem geométrica ( progressão ). Por exemplo, dado o número real [;-1< A < 1;], temos o interessante somatório infinito

[; \sum_{n=1}^{\infty}A^{n^2};]

Como [;n^2=1+3(n-1)+\frac{2}{2}(n-1)(n-2)=1+3{n-1 \choose 1}+2{n-1 \choose 2};], temos que

[;a_n=A^{n^2}= A^{1+3{n-1 \choose 1}+2{n-1 \choose 2}}=A.(A^3)^{(n-1;1)}(A^2)^{(n-1;2)};] 

que é uma progressão geométrica de ordem [;2;] de primeiro termo [;a_1=A;], primeira razão [;q_1=A^3;] e segunda razão [;q_2=A^2;].


Gostará de ler também:

002-Progressão Aritmética de Ordem Superior

Imagem: http://otaodabiologia.wordpress.com/2008/12/12/a-matematica-do-embriao-ii/

3 comentários:

  1. Oi, Teixeira! Sobre ter a esperança de se encontrar uma fórmula para "Somatório de A^(n^2)" as notícias não são boas. A integral de e^(-x^2)=(1/e)^(x^2) não pode ser expressa em termos de funções "elementares" o que me leva a crer que o somatório também não o possa. A função e^(-x^2) já foi intensamente estudada pois aparece na "curva normal" ou "curva de Gauss". Talvez se consiga algo usando séries. abçs

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  2. É verdade, Tavano. Bem, só me resta alguém (ou eu )encontrar apenas o limite de alguns destes somatórios. Mesmo assim, a tarefa é hercúlea.

    Talvez alguns investigações sejam mais acessíveis, por exemplo, dado -1<A<1, o limite do somatório infinito de (A)^(n^2) é racional, irracional ou transcendente?

    Valeu, Tavano!






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  3. o latex aqui não tá funcionando! :S

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