ELEMENTOS: 067-Progressão Geométrica de Segunda Ordem

"Não existe nenhum ramo da matemática,

por mais abstrato que seja, que não possa um dia

ser aplicado à fenômenos do mundo real"

Nicolai Lobachevsky.

Definição

Considere a sequência $[;A;]$ ( $[;a_1,a_2,...,a_n;]$ ) onde as razões de seus termos consecutivos formam a sequência $[;B;]$ ( $[;b_1,b_2,...,b_n;]$ ), conforme a seguir:

$[;a_1;]$ , $[;a_2;]$ , $[;a_3;]$ , $[;a_4;]$ ,..., $[;a_{n-1};]$ $[;a_n;]$

$[;b_1;]$ , $[;b_2;]$ , $[;b_3;]$ ,... ..., $[;b_n;]$

Ou seja,

$[;b_1=\frac{a2}{a1};]$

$[;b_2=\frac{a_3}{a_2};]$

$[;b_3=\frac{a_4}{a_3};]$
$[;..........................;]$

$[;b_n=\frac{a_n}{a_{n-1}};]$

Se a sequência $[;B;]$ for uma Progressão Geométrica ( $[;PG;]$ ), de primeiro termo $[;b_1;]$ , razão $[;q;]$ e termo genérico $[;b_n=b_1q^{n-1};]$ , então a sequência $[;A;]$ é definida como progressão geométrica de segunda ordem [ $[;PG(2);]$ ].

Fórmula do Termo Geral

Conforme a definição, temos

$[;a_2=a_1b_1=a_1^1b_1^1q^0;]$

$[;a_3=a_2b_2=(a_1b_1)(b_1q)=a_1b^2_1q^1;]$

$[;a_4=a_3b_3=(a_1b^2_1q)(b_1q^2)=a_1b^3_1q^3;]$

$[;a_5=a_4b_4=(a_1b_1^3q^3)(b_1q^3)=a_1b_1^4q^6;]$

Prosseguindo com estes cálculos, perceberemos que as potências de $[;b_1;]$ são $[;1,2,3,4,...,{n-1 \choose 1;]$ e as potências de $[;q;]$ são $[;0,1,3,6,...,{n-1 \choose 2};]$ . Convenciona-se que, se $[;0 \leq m < p;]$ , temos $[;{m \choose p}=0;]$ . Logo,

$[;a_n=a_1b_1^{{n-1 \choose 1}}q^{{n-1 \choose 2}};]$

Aqui, podemos dizer que $[;q_1=b_1;]$ é a primeira razão e $[;q_2=q;]$ é a segunda razão da $[;PG(2);]$ .

Observação. Na expressão acima de $[;a_n;]$ , as combinações $[;n-1 \choose 1;]$ e $[;n-1 \choose 2;]$ são expoentes, mas parecem que estão multiplicando $[;b_1;]$ e $[;q;]$ , respectivamente. Para corrigir esta ambigüidade, substituirei pelas formas equivalentes $[;{n-1 \choose 1}=(n-1;1);]$ e $[;{n-1 \choose 2}=(n-1;2);]$ . Assim,

$[;a_n=a_1q_1^{(n-1;1)}q_2^{(n-1;2)};]$

As razões da $[;PG(2);]$ ( $[;a_1,a_2, a_3,...,a_n;]$ ) ficam determinadas com os seus três primeiros termos, pois temos

$[;q_1=\frac{a_2}{a_1};]$

$[;q_2=\frac{b_2}{b_1}=\frac{\frac{a_3}{a_2}}{\frac{a_2}{a_1}}=\frac{a_3}{a_2}.\frac{a_1}{a_2} \Rightarrow;]$

$[;q_2=\frac{a_1a_3}{a_2^2};]$

Exercícios Resolvidos

$[;1;]$ ) Verificar se a sequência finita $[;(5,15,315,46305);]$ é uma progressão geométrica de segunda ordem.

Resolução. Calculando as razões dos termos consecutivos, obtemos

$[;5;]$ $[;15;]$ $[;315;]$ $[;46305;]$

$[;3;]$ $[;21;]$ $[;147;]$

$[;7;]$ $[;7;]$

Como a última sequência $[;(7,7);]$ resultou em uma sequência constante, logo a penúltima $[;(3,21,147);]$ sequência é uma progressão geométrica ordinária ( ou de primeira ordem ). Deste modo, a primeira sequência $[;(5,15,315,46305);]$ é uma progressão geométrica de segunda ordem.

$[;2;]$ ) Sabendo que a sequência $[;(2,6,36,...);]$ é uma $[;PG(2);]$ , calcule a fórmula do termo geral.

Resolução. O termo genérico é $[;a_n=a_1q_1^{(n-1;1)}q_2^{(n-1;2)};]$ . Aqui temos $[;a_1=2;]$ , $[;a_2=6;]$ e $[;a_3=36;]$ . Portanto,

$[;q_1=\frac{a_2}{a_1}=\frac{6}{2}=3;]$

$[;q_2=\frac{a_1a_3}{a_2^2}=\frac{2.36}{6^2}=2;]$

E a fórmula do termo geral fica

$[;a_n=2.3^{(n-1;1)}2^{(n-1;2);]$

$[;3;]$ ) Sabendo que a sequência $[;(1,2,3,...);]$ é uma $[;PG(2);]$ , calcule o valor do $[;4^o;]$ termo.

Resolução. Dados: $[;a_1=1;]$ , $[;a_2=2;]$ , $[;a_3=3;]$ , $[;a_4=;]$ ?

$[;q_1=\frac{a_2}{a_1}=\frac{2}{1}=2;]$

$[;q_2=\frac{a_1a_3}{a_2^2}=\frac{1.3}{2^2}=\frac{3}{4};]$

Logo, $[;a_n=2^{(n-1;1)}\left(\frac{3}{4}\right)^{(n-1;2)};]$

$[;a_4=2^{(3;1)}\left(\frac{3}{4}\right)^{(3;2)}=2^3\left(\frac{3}{4}\right)^3=8.\frac{27}{64}=\frac{27}{8}=3,375;]$

Produto dos $[;n;]$ primeiros termos

Seja $[;a_n;]$ o termo genérico de uma $[;PG(2);]$ de primeiro termo $[;a_1;]$ e razões $[;q_1;]$ e $[;q_2;]$ .

Seja também $[;\Pi_n=a_1.a_2....a_n;]$ o produto dos $[;n;]$ primeiros termos desta sequência.

Usando o conceito de integral geométrica, de minha autoria, publicado neste blog no post 012 , de 28 de janeiro de 2012, podemos demonstrar que

$[;\Pi_n= a_1^{(n;1)}q_1^{(n;2)}q_2^{(n;3)};]$

Soma dos $[;n;]$ primeiros termos

Este é uma questão que deixarei em aberto aos leitores entusiásticos, mesmo porque até hoje não consegui encontrar a fórmula da soma dos $[;n;]$ primeiros termos de uma progressão geométrica de ordem superior a $[;1;]$ . Quem encontrar, terá o poder de somar um sem número de séries infinitas de origem geométrica ( progressão ). Por exemplo, dado o número real $[;-1< A < 1;]$ , temos o interessante somatório infinito

$[; \sum_{n=1}^{\infty}A^{n^2};]$

Como $[;n^2=1+3(n-1)+\frac{2}{2}(n-1)(n-2)=1+3{n-1 \choose 1}+2{n-1 \choose 2};]$ , temos que

$[;a_n=A^{n^2}= A^{1+3{n-1 \choose 1}+2{n-1 \choose 2}}=A.(A^3)^{(n-1;1)}(A^2)^{(n-1;2)};]$

que é uma progressão geométrica de ordem $[;2;]$ de primeiro termo $[;a_1=A;]$ , primeira razão $[;q_1=A^3;]$ e segunda razão $[;q_2=A^2;]$ .

Gostará de ler também:

012-Progressão Geométrica de Ordem Superior

002-Progressão Aritmética de Ordem Superior

Imagem: http://otaodabiologia.wordpress.com/2008/12/12/a-matematica-do-embriao-ii/

4 comentários:

tavano4 de setembro de 2012 às 17:17
Oi, Teixeira! Sobre ter a esperança de se encontrar uma fórmula para "Somatório de A^(n^2)" as notícias não são boas. A integral de e^(-x^2)=(1/e)^(x^2) não pode ser expressa em termos de funções "elementares" o que me leva a crer que o somatório também não o possa. A função e^(-x^2) já foi intensamente estudada pois aparece na "curva normal" ou "curva de Gauss". Talvez se consiga algo usando séries. abçs
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Aloisio Teixeira5 de setembro de 2012 às 09:43
É verdade, Tavano. Bem, só me resta alguém (ou eu )encontrar apenas o limite de alguns destes somatórios. Mesmo assim, a tarefa é hercúlea.

Talvez alguns investigações sejam mais acessíveis, por exemplo, dado -1<A<1, o limite do somatório infinito de (A)^(n^2) é racional, irracional ou transcendente?

Valeu, Tavano!

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Anônimo24 de outubro de 2012 às 21:12
o latex aqui não tá funcionando! :S
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Unknown9 de junho de 2020 às 16:03
O latex não tá funcionando
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terça-feira, 4 de setembro de 2012

067-Progressão Geométrica de Segunda Ordem

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V.O