domingo, 9 de setembro de 2012

069-Equações Incomuns da Reta

Equação Normal da Reta


 [;x.\cos(u)+y.sen(u)=p;]

A equação leva este nome porque um dos parâmetros é a normal [;OD=p;] (perpendicular) que passa pela origem à reta.


Seja a reta [;r;]. Da origem, fazemos a perpendicular [;OD=p;]. Temos a seguinte relação entre as projeções ortogonais dos segmentos [;OP;], [;PM;] e [;OM;] sobre esta normal:

[;pr(OP)+pr(PM)=pr(OM);] (1)

Calculando cada projeção:

[;pr(OP)=x. \cos(u);]

[;pr(PM)=y.\cos(90^o-u)=y.sen(u);]

[;pr(OM)=p;] 

Substituindo em (1) , obtemos a equação normal da reta:

[;x.\cos(u)+y.sen(u)=p;]

 
Equações Paramétricas da Reta

Podemos ter duas equações para uma mesma reta utilizando uma terceira variável ([;t;]) chamada de parâmetro. Assim, as coordenadas ([;x,y;]) de cada ponto da reta são geradas em função da parâmetro, ou seja 

[;x=f(t);] 

[;y=g(t);]

Este sistema denomina-se representação paramétrica. Veremos agora de que forma [;f(t);] e [;g(t);] podem se expressar.


Seja a reta [;r;]  e nela considere a distância variável [;M_1M= t;] que usaremos como parâmetro.
Observem que [;M_1M;] é a distância [;t;] do ponto fixo [;M_1(x_1,y_1);] até um ponto arbitrário [;M(x,y);] que descreve a reta [;r;]. Então, a cada valor de [;t;] ( positivo ou negativo ) corresponderá um ponto da reta à direita ou à esquerda do ponto fixo de referência [;M_1;]  .
Tomemos sobre a reta os pontos [;A;]  e [;P;], de forma que [;AP=1;]. O ponto [;P;] denomina-se ponto diretor. Os números [;p;] e [;q;] chamam-se coeficientes diretores da reta. Vejam que

[;p= \cos( \alpha);]

       [;q=sen(\alpha);]  (2) 

Para um ponto [;M(x,y);] qualquer da reta, temos

[;x=OC=OB+M_1R=x_1+t.cos(\alpha);]

[;y=ON=ON_1+RM=y_1+t.sen(\alpha);]

Considerando as igualdades (2), chegamos as equações paramétricas da reta:

[;x=f(t)=x_1+pt;]  

[;y=g(t)=y_1+qt;]


Referência bibliográfica: Matemática, Terceiro Ano Colegial, Ary Quintella, Companhia Editora Nacional, São Paulo, 1968.

Gostará de ler também:  028-Gráficos Cartesianos Algébricos 

Postado por às 13:30

2 comentários:

  1. Prof. Paulo Sérgio11 de setembro de 2012 às 10:39

    Interessante este post. Para completá-lo podemos citar a equação segmentária da reta dada por x/x_0 + y/y_0 = 1, onde x_0 é o intercepto-x, ou seja, o ponto onde a reta intercepta o eixo x e y_0 é o intercepto y.

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  2. Aloisio Teixeira11 de setembro de 2012 às 12:50

    Oi, Paulo!

    Eu lembro desta equação segmentária. É bem interessante. Abordarei ela em alguma miscelânea. Obrigado pela dica.

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